Consumo de combustible de un vehículo híbrido

**a) (1 punto) Si en una primera prueba el vehículo tiene que circular a más de 3 decenas de kilómetros por hora, ¿a qué velocidad debe ir el vehículo para obtener un consumo mínimo?** Para velocidades superiores a 3 decenas de km/h ($v \gt 3$), la función de consumo viene definida por la segunda rama: $$c(v) = 14 - 4v + \frac{v^2}{3}$$ Para hallar el mínimo, calculamos su derivada primera: $$c'(v) = -4 + \frac{2v}{3}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-4 + \frac{2v}{3} = 0 \implies \frac{2v}{3} = 4 \implies 2v = 12 \implies v = 6$$ Como $v=6$ pertenece al intervalo $(3, +\infty)$, es un posible extremo relativo. 💡 **Tip:** Recuerda que para localizar extremos relativos en funciones derivables, buscamos los puntos donde la primera derivada se anula ($f'(x)=0$).

Para comprobar si en $v=6$ hay un mínimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$c''(v) = \frac{2}{3}$$ Como $c''(6) = \frac{2}{3} \gt 0$, confirmamos que en $v = 6$ existe un **mínimo relativo**. Calculamos el consumo en ese punto: $$c(6) = 14 - 4(6) + \frac{6^2}{3} = 14 - 24 + \frac{36}{3} = 14 - 24 + 12 = 2 \text{ L/100km}$$ La velocidad está expresada en decenas de km/h, por lo que $v=6$ corresponde a $60$ km/h. ✅ **Resultado:** $$\boxed{v = 6 \text{ (60 km/h) para un consumo mínimo de 2 L/100km}}$$

**b) (1.5 puntos) Si en otra prueba el vehículo debe circular a una velocidad $v$ tal que $1 \le v \le 8$, ¿cuáles serán el máximo y el mínimo consumo posibles del vehículo?** Para estudiar los extremos absolutos en un intervalo cerrado $[1, 8]$, primero verificamos la continuidad en el punto de salto $v=3$: 1. $c(3) = 14 - 4(3) + \frac{3^2}{3} = 14 - 12 + 3 = 5$ 2. $\lim_{v \to 3^-} c(v) = \lim_{v \to 3^-} \frac{5v}{3} = \frac{5(3)}{3} = 5$ 3. $\lim_{v \to 3^+} c(v) = \lim_{v \to 3^+} (14 - 4v + \frac{v^2}{3}) = 5$ Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, **la función es continua en $v=3$** y, por tanto, en todo el intervalo $[1, 8]$. 💡 **Tip:** Antes de buscar máximos y mínimos absolutos en un intervalo, debemos asegurar que la función sea continua para aplicar el Teorema de Weierstrass.

Analizamos el comportamiento de la función en el intervalo: - En $[1, 3)$, $c'(v) = 5/3 \gt 0$, luego la función es **creciente**. - En $(3, 8]$, $c'(v) = -4 + 2v/3$. Ya sabemos que se anula en $v=6$. Evaluamos el signo de la derivada en los subintervalos: $$\begin{array}{c|ccccc} v & (1,3) & 3 & (3,6) & 6 & (6,8)\\ \hline c'(v) & + & \nexists & - & 0 & +\\ \hline c(v) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ En $v=3$ hay un máximo relativo (cambio de creciente a decreciente) y en $v=6$ un mínimo relativo. 💡 **Tip:** En una función a trozos continua, el punto de unión es un candidato a extremo si la derivada cambia de signo a su izquierda y derecha.

Para hallar el máximo y mínimo absolutos en $[1, 8]$, evaluamos la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos hallados: 1. Extremo inferior: $c(1) = \frac{5(1)}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67$ 2. Punto de salto (máximo local): $c(3) = 5$ 3. Mínimo relativo: $c(6) = 2$ 4. Extremo superior: $c(8) = 14 - 4(8) + \frac{8^2}{3} = 14 - 32 + \frac{64}{3} = -18 + 21.33 = 3.33 = \frac{10}{3}$ Comparando los valores: - El valor más alto es $5$ L/100km (en $v=3$). - El valor más bajo es $5/3$ L/100km (en $v=1$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } 5 \text{ L/100km (en } v=3\text{); Mínimo: } 5/3 \text{ L/100km (en } v=1\text{)}}$$