Operaciones con matrices, rango y potencias

**a) Calcular el determinante de $A^t A$.** Primero, obtenemos la traspuesta de $A$, $A^t$, intercambiando filas por columnas: $$A^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $A^t A$ multiplicando las filas de $A^t$ por las columnas de $A$: $$A^t A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(2) + (-1)(-1) & 2(1) + (-1)(0) & 2(0) + (-1)(2) \\ 1(2) + 0(-1) & 1(1) + 0(0) & 1(0) + 0(2) \\ 0(2) + 2(-1) & 0(1) + 2(0) & 0(0) + 2(2) \end{pmatrix}$$ $$A^t A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A^t A| = 5(1 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - 2(2 \cdot 4 - 0 \cdot (-2)) + (-2)(2 \cdot 0 - 1 \cdot (-2))$$ $$|A^t A| = 5(4) - 2(8) - 2(2) = 20 - 16 - 4 = 0$$ 💡 **Tip:** Teóricamente, si $A$ es una matriz de dimensiones $m \times n$ con $m \lt n$, el rango de $A$ es como mucho $m$. Como $\text{rango}(A^t A) = \text{rango}(A)$, y aquí $A$ es $2 \times 3$, el rango de $A^t A$ es máximo 2. Al ser una matriz $3 \times 3$ de rango $\le 2$, su determinante debe ser obligatoriamente $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A^t A| = 0}$$

**b) Calcular el rango de $BA$ en función de $b$.** Calculamos el producto de $B$ por $A$: $$BA = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(2) + 0(-1) & b(1) + 0(0) & b(0) + 0(2) \\ 1(2) + b(-1) & 1(1) + b(0) & 1(0) + b(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2b & b & 0 \\ 2 - b & 1 & 2b \end{pmatrix}$$ Para determinar el rango, analizamos los menores de orden 2. El rango será 2 si existe al menos un menor de orden 2 distinto de cero: 1. Menor formado por las dos primeras columnas: $M_1 = \begin{vmatrix} 2b & b \\ 2 - b & 1 \end{vmatrix} = 2b - b(2 - b) = 2b - 2b + b^2 = b^2$ 2. Menor formado por la segunda y tercera columna: $M_2 = \begin{vmatrix} b & 0 \\ 1 & 2b \end{vmatrix} = 2b^2 - 0 = 2b^2$ Analizamos los casos según el valor de $b$: - Si **$b \neq 0$**, los menores son distintos de cero ($b^2 \neq 0$ y $2b^2 \neq 0$), por lo que existen filas/columnas linealmente independientes. El rango es 2. - Si **$b = 0$**, la matriz queda $BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. En este caso, todas las columnas son proporcionales o nulas excepto la primera y segunda, pero la primera fila es nula. Solo hay una fila linealmente independiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } b \neq 0, \text{rango}(BA) = 2; \text{ si } b = 0, \text{rango}(BA) = 1}$$

**c) Calcular $B^{-1}$ para $b = 2$.** Sustituimos $b = 2$ en la matriz $B$: $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. 1. Calculamos el determinante: $|B| = (2)(2) - (0)(1) = 4$. Como $|B| \neq 0$, la matriz es invertible. 2. Hallamos la matriz traspuesta: $B^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. 3. Calculamos la matriz adjunta de la traspuesta: - $Adj(B^t)_{11} = 2$ - $Adj(B^t)_{12} = 0$ - $Adj(B^t)_{21} = -1$ - $Adj(B^t)_{22} = 2$ $$\text{Adj}(B^t) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 4. Aplicamos la fórmula $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{Adj}(B^t)$: $$B^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ -1/4 & 1/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se puede obtener rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de los de la diagonal secundaria, dividiendo todo por el determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ -1/4 & 1/2 \end{pmatrix}}$$

**d) Para $b = 1$, calcular $B^5$.** Para $b = 1$, tenemos $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calculamos las primeras potencias para encontrar una ley de recurrencia: - $B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+0(1) & 1(0)+0(1) \\ 1(1)+1(1) & 1(0)+1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ - $B^3 = B^2 \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+0(1) & 1(0)+0(1) \\ 2(1)+1(1) & 2(0)+1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ Observamos que el elemento $a_{21}$ coincide con el exponente $n$, mientras que los demás permanecen constantes. Por inducción, deducimos que $B^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}$. Para $n=5$: $$B^5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{B^5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}}$$