Probabilidad y Estadística 2023 Madrid
Probabilidad de compra y edad en una joyería
Siete de cada veinte personas que entran en cierta joyería acaban comprando algún artículo. El $75\%$ de las personas que se marchan sin comprar nada tienen menos de 50 años y el $80\%$ de las personas que realizan alguna compra tienen al menos 50 años. Entra un cliente en la joyería. Se pide:
a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea menor de 50 años.
b) (1.25 puntos) Sabiendo que tiene como mínimo 50 años, hallar la probabilidad de que salga de la tienda sin haber comprado nada.
Paso 1
Definición de sucesos y esquema del problema
Para resolver el problema, lo primero es definir claramente los sucesos y organizar la información disponible en un diagrama de árbol.
Definimos los sucesos:
* $C$: El cliente compra un artículo.
* $\bar{C}$: El cliente no compra nada (suceso contrario a $C$).
* $M$: El cliente es menor de 50 años.
* $A$: El cliente tiene al menos 50 años (suceso contrario a $M$, es decir, $A = \bar{M}$).
Datos extraídos del enunciado:
* $P(C) = \dfrac{7}{20} = 0.35 \implies P(\bar{C}) = 1 - 0.35 = 0.65$.
* $P(M | \bar{C}) = 0.75 \implies P(A | \bar{C}) = 1 - 0.75 = 0.25$ (el $75\%$ de los que no compran son menores de 50).
* $P(A | C) = 0.80 \implies P(M | C) = 1 - 0.80 = 0.20$ (el $80\%$ de los que compran tienen al menos 50).
Representamos estos datos en un árbol de probabilidad:
💡 **Tip:** Un diagrama de árbol es la mejor herramienta para visualizar problemas de probabilidad compuesta donde los sucesos están encadenados.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de ser menor de 50 años
**a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea menor de 50 años.**
Para calcular la probabilidad total del suceso $M$, sumamos las probabilidades de las ramas que terminan en $M$ utilizando el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(M) = P(C) \cdot P(M | C) + P(\bar{C}) \cdot P(M | \bar{C})$$
Sustituimos los valores obtenidos anteriormente:
$$P(M) = 0.35 \cdot 0.20 + 0.65 \cdot 0.75$$
$$P(M) = 0.07 + 0.4875 = 0.5575$$
💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total nos permite hallar la probabilidad de un suceso de la "segunda etapa" ponderando sus probabilidades condicionadas por la probabilidad de los sucesos de la "primera etapa".
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M) = 0.5575}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) (1.25 puntos) Sabiendo que tiene como mínimo 50 años, hallar la probabilidad de que salga de la tienda sin haber comprado nada.**
Se nos pide la probabilidad condicionada $P(\bar{C} | A)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(\bar{C} | A) = \frac{P(\bar{C} \cap A)}{P(A)} = \frac{P(\bar{C}) \cdot P(A | \bar{C})}{P(A)}$$
Primero, necesitamos calcular $P(A)$. Dado que $A$ (tener al menos 50 años) es el suceso contrario a $M$ (tener menos de 50 años):
$$P(A) = 1 - P(M) = 1 - 0.5575 = 0.4425$$
Ahora aplicamos la fórmula con los valores conocidos:
$$P(\bar{C} | A) = \frac{0.65 \cdot 0.25}{0.4425} = \frac{0.1625}{0.4425}$$
Realizando el cálculo:
$$P(\bar{C} | A) \approx 0.3672$$
Si queremos dar la fracción exacta:
$$P(\bar{C} | A) = \frac{1625}{4425} = \frac{65}{177}$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$. En Bayes, el denominador suele ser el resultado de aplicar la probabilidad total al suceso condicionante.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{C} | A) = \frac{65}{177} \approx 0.3672}$$