Posición relativa de rectos y planos. Ángulos y distancias

**a) (0.75 puntos) Comprobar que los planos $\pi$ y $\pi'$ se cortan. Hallar el ángulo que forman.** Dos planos se cortan si sus vectores normales no son proporcionales (es decir, no son paralelos). Obtenemos los vectores normales de las ecuaciones generales: $$\vec{n}_{\pi} = (1, 2, 2)$$ $$\vec{n}_{\pi'} = (2, 2, 1)$$ Comprobamos la proporcionalidad de sus componentes: $$\frac{1}{2} \neq \frac{2}{2}$$ Como los vectores normales no son proporcionales, los planos no son paralelos ni coincidentes, por tanto, **se cortan en una recta**. 💡 **Tip:** Si los vectores normales son proporcionales, los planos son paralelos. Si además el término independiente guarda la misma proporción, son coincidentes.

El ángulo $\alpha$ que forman dos planos es el ángulo agudo que forman sus vectores normales. Utilizamos la fórmula del producto escalar: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{\pi} \cdot \vec{n}_{\pi'}|}{|\vec{n}_{\pi}| \cdot |\vec{n}_{\pi'}|}$$ Calculamos el producto escalar y los módulos: - $\vec{n}_{\pi} \cdot \vec{n}_{\pi'} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 2 + 4 + 2 = 8$ - $|\vec{n}_{\pi}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ - $|\vec{n}_{\pi'}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|8|}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}$$ $$\alpha = \arccos\left(\frac{8}{9}\right) \approx 27.27^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\dfrac{8}{9}\right)}$$

**b) (0.75 puntos) Estudiar la posición relativa de $r$ y $\pi$. Hallar, si es posible, el punto de corte.** Para estudiar la posición relativa, extraemos el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: - $r \equiv \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{0} = \frac{z + 2}{-1} \implies \vec{v}_r = (3, 1, -1)$ - $\pi \equiv x + 2y + 2z - 1 = 0 \implies \vec{n}_\pi = (1, 2, 2)$ Calculamos el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (3)(1) + (1)(2) + (-1)(2) = 3 + 2 - 2 = 3$$ Como $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$, el vector director de la recta no es perpendicular al normal del plano. Por tanto, **la recta y el plano son secantes** y se cortan en un punto. 💡 **Tip:** Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$, la recta es paralela al plano o está contenida en él.

Para hallar el punto de corte $I$, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = \lambda \\ z = -2 - \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$(1 + 3\lambda) + 2(\lambda) + 2(-2 - \lambda) - 1 = 0$$ $$1 + 3\lambda + 2\lambda - 4 - 2\lambda - 1 = 0$$ $$3\lambda - 4 = 0 \implies \lambda = \frac{4}{3}$$ Sustituimos $\lambda = \frac{4}{3}$ en las paramétricas de $r$: - $x = 1 + 3\left(\frac{4}{3}\right) = 1 + 4 = 5$ - $y = \frac{4}{3}$ - $z = -2 - \frac{4}{3} = -\frac{10}{3}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I\left(5, \dfrac{4}{3}, -\dfrac{10}{3}\right)}$$

**c) (1 punto) Hallar los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\pi$ y $\pi'$.** Un punto genérico de la recta $r$ tiene la forma $P_\lambda(1+3\lambda, \lambda, -2-\lambda)$. Queremos que: $$d(P_\lambda, \pi) = d(P_\lambda, \pi')$$ Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano $d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$: Para $\pi: x + 2y + 2z - 1 = 0$: $$d(P_\lambda, \pi) = \frac{|(1+3\lambda) + 2(\lambda) + 2(-2-\lambda) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|3\lambda - 4|}{3}$$ Para $\pi': 2x + 2y + z + 4 = 0$: $$d(P_\lambda, \pi') = \frac{|2(1+3\lambda) + 2(\lambda) + (-2-\lambda) + 4|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 6\lambda + 2\lambda - 2 - \lambda + 4|}{3} = \frac{|7\lambda + 4|}{3}$$ Igualamos ambas expresiones: $$\frac{|3\lambda - 4|}{3} = \frac{|7\lambda + 4|}{3} \implies |3\lambda - 4| = |7\lambda + 4|$$

La igualdad $|a| = |b|$ da lugar a dos casos: $a = b$ o $a = -b$. **Caso 1: $3\lambda - 4 = 7\lambda + 4$** $$-4\lambda = 8 \implies \lambda = -2$$ Sustituimos en $P_\lambda$: - $x = 1 + 3(-2) = -5$ - $y = -2$ - $z = -2 - (-2) = 0$ Obtenemos el punto **$Q_1(-5, -2, 0)$**. **Caso 2: $3\lambda - 4 = -(7\lambda + 4)$** $$3\lambda - 4 = -7\lambda - 4$$ $$10\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituimos en $P_\lambda$: - $x = 1 + 3(0) = 1$ - $y = 0$ - $z = -2 - 0 = -2$ Obtenemos el punto **$Q_2(1, 0, -2)$** (que casualmente es el punto dado en la ecuación de la recta). ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q_1(-5, -2, 0) \text{ y } Q_2(1, 0, -2)}$$