Estudio de asíntotas y extremos de una función con valor absoluto

**a) (1 punto) Hallar, si existen, las asíntotas de la gráfica de $f$.** Antes de calcular las asíntotas, analizamos la función. El denominador es un trinomio cuadrado perfecto: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. La función no está definida cuando el denominador es cero: $$(x+1)^2 = 0 \implies x = -1.$$ Por tanto, el dominio es $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Para facilitar el cálculo, reescribimos el numerador factorizando el polinomio de segundo grado $x^2 - x - 2$. Buscamos sus raíces: $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 2, x_2 = -1.$$ Así, $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$. La función queda: $$f(x) = \frac{|(x-2)(x+1)|}{(x+1)^2}.$$ 💡 **Tip:** Factorizar antes de operar permite simplificar expresiones, especialmente en funciones racionales o con valores absolutos.

Estudiamos el comportamiento en $x = -1$, que es el punto excluido del dominio: $$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{|x-2| \cdot |x+1|}{(x+1)^2} = \lim_{x \to -1} \frac{|x-2|}{|x+1|}.$$ Evaluamos el límite: - El numerador $|-1-2| = 3$. - El denominador $|x+1|$ tiende a $0$ por valores positivos (debido al valor absoluto). $$\lim_{x \to -1} \frac{3}{0^+} = +\infty.$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado (A.V.):** $$\boxed{x = -1}$$

Calculamos los límites en el infinito para las asíntotas horizontales. Dado que para valores muy grandes de $|x|$, la expresión dentro del valor absoluto es positiva ($x^2-x-2 \gt 0$), tenemos: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x - 2}{x^2 + 2x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(1 - 1/x - 2/x^2)}{x^2(1 + 2/x + 1/x^2)} = 1.$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - x - 2}{x^2 + 2x + 1} = 1.$$ Al existir asíntota horizontal, no existen asíntotas oblicuas. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si el grado del numerador es igual al del denominador, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (A.H.):** $$\boxed{y = 1}$$

**b) (1.5 puntos) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y calcular, si existen, sus extremos relativos.** Primero definimos la función a trozos eliminando el valor absoluto. Sabemos que $x^2-x-2$ es negativo entre sus raíces $(-1, 2)$: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-x-2}{(x+1)^2} = \frac{x-2}{x+1} & \text{si } x < -1 \text{ o } x \ge 2 \\ \frac{-(x^2-x-2)}{(x+1)^2} = \frac{2-x}{x+1} & \text{si } -1 < x < 2 \end{cases}$$ Calculamos la derivada en cada tramo: 1. Si $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$: $$f'(x) = \frac{1(x+1) - (x-2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}.$$ 2. Si $x \in (-1, 2)$: $$f'(x) = \frac{-1(x+1) - (2-x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{-3}{(x+1)^2}.$$ La función no es derivable en $x=2$ porque las derivadas laterales no coinciden ($3/9 \neq -3/9$). $$\boxed{f'(x) = \begin{cases} \frac{3}{(x+1)^2} & \text{si } x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \\ \frac{-3}{(x+1)^2} & \text{si } x \in (-1, 2) \end{cases}}$$

Para estudiar el crecimiento, analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y los puntos donde $f'(x)=0$ o no existe. - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2} \gt 0 \implies$ **Creciente**. - En $(-1, 2)$, $f'(x) = \frac{-3}{(x+1)^2} \lt 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(2, +\infty)$, $f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2} \gt 0 \implies$ **Creciente**. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & - & \nexists & + \\ f(x) & \nearrow & \text{A.V.} & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -1) \cup (2, +\infty); \quad \text{Decreciente: } (-1, 2)}$$

A partir del estudio de la monotonía: - En $x = -1$ hay una asíntota, no un extremo. - En $x = 2$, la función pasa de decrecer a crecer y es continua ($f(2) = 0$). Por tanto, hay un **mínimo relativo**. La coordenada del mínimo es $(2, f(2)) = (2, 0)$. No existen máximos relativos ya que la derivada nunca es cero y no hay otros puntos de cambio de monotonía en el dominio. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (2, 0); \quad \text{No existen máximos relativos}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=\\frac{|x^2-x-2|}{x^2+2x+1}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x=-1", "lineStyle": "DASHED", "color": "#ef4444" }, { "id": "ah", "latex": "y=1", "lineStyle": "DASHED", "color": "#16a34a" }, { "id": "min", "latex": "(2, 0)", "showLabel": true, "label": "Mínimo (2,0)" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 10, "bottom": -1, "top": 5 } } }