Problema de nutrición: Sistema de ecuaciones lineales

**Determine la cantidad de kilocalorías diaria que obtendrá el quebrantahuesos procedentes de grasas, de carbohidratos y de proteínas.** En primer lugar, definimos las variables que representan la cantidad de gramos de cada nutriente: - $x$: gramos de grasas. - $y$: gramos de carbohidratos. - $z$: gramos de proteínas. A partir del enunciado, traducimos la información a ecuaciones matemáticas: 1. El ave necesita 500 g de alimento al día: $$x + y + z = 500$$ 2. El ave necesita 2500 Kcal, con los aportes de 9, 4 y 4 Kcal/g respectivamente: $$9x + 4y + 4z = 2500$$ 3. El consumo de carbohidratos ($y$) debe ser 40 g más del doble de proteínas ($z$): $$y = 2z + 40 \implies y - 2z = 40$$ El sistema de ecuaciones lineales resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 500 \\ 9x + 4y + 4z = 2500 \\ y - 2z = 40 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental definir correctamente las unidades de las variables (en este caso, gramos) antes de plantear las ecuaciones de energía o masa.

Para resolver el sistema, utilizaremos la tercera ecuación para sustituir $y$ en las otras dos. De la tercera ecuación tenemos: $$y = 2z + 40$$ Sustituimos en la primera ecuación: $$x + (2z + 40) + z = 500 \implies x + 3z = 460$$ Sustituimos en la segunda ecuación: $$9x + 4(2z + 40) + 4z = 2500$$ $$9x + 8z + 160 + 4z = 2500 \implies 9x + 12z = 2340$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} x + 3z = 460 \\ 9x + 12z = 2340 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera ecuación por $-4$ para eliminar la $z$: $$-4x - 12z = -1840$$ $$9x + 12z = 2340$$ Sumando ambas ecuaciones: $$5x = 500 \implies x = 100$$ 💡 **Tip:** En sistemas con una variable ya casi despejada, el método de sustitución suele ser el más rápido para reducir dimensiones.

Una vez obtenido el valor de $x$, calculamos $z$ e $y$ sustituyendo en las expresiones anteriores. Para hallar $z$, usamos $x + 3z = 460$: $$100 + 3z = 460 \implies 3z = 360 \implies z = 120\text{ g}$$ Para hallar $y$, usamos $y = 2z + 40$: $$y = 2(120) + 40 = 240 + 40 = 280\text{ g}$$ Por tanto, las cantidades diarias en gramos son: - Grasas ($x$): **100 g** - Carbohidratos ($y$): **280 g** - Proteínas ($z$): **120 g** Verificamos la masa total: $100 + 280 + 120 = 500\text{ g}$. Es correcto.

El enunciado nos pide la cantidad de **kilocalorías** procedentes de cada nutriente, no los gramos. Multiplicamos cada cantidad por su aporte energético correspondiente: - **Grasas:** $100\text{ g} \cdot 9\text{ Kcal/g} = 900\text{ Kcal}$ - **Carbohidratos:** $280\text{ g} \cdot 4\text{ Kcal/g} = 1120\text{ Kcal}$ - **Proteínas:** $120\text{ g} \cdot 4\text{ Kcal/g} = 480\text{ Kcal}$ Comprobamos el total de energía: $900 + 1120 + 480 = 2500\text{ Kcal}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Grasas: } 900\text{ Kcal} \\ \text{Carbohidratos: } 1120\text{ Kcal} \\ \text{Proteínas: } 480\text{ Kcal} \end{matrix}}$$