Probabilidad de golpes críticos: Distribución Binomial y aproximación Normal

**a) Si se realizan 5 ataques, calcula la probabilidad de obtener 3 o menos golpes críticos.** Primero, calculamos la probabilidad de que un único ataque sea crítico. Para que esto ocurra, deben suceder dos eventos independientes de forma consecutiva: 1. Salir cara al lanzar la moneda: $P(\text{cara}) = \dfrac{1}{2} = 0.5$. 2. Obtener un 9 o un 10 en el dado: $P(\text{dado} \ge 9) = \dfrac{2}{10} = 0.2$. La probabilidad de un golpe crítico ($p$) es el producto de ambas: $$p = 0.5 \cdot 0.2 = 0.1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos son independientes, la probabilidad de que ocurran ambos a la vez es el producto de sus probabilidades individuales: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de ataques críticos en 5 lanzamientos". Como cada ataque es independiente y la probabilidad de éxito es constante, $X$ sigue una distribución binomial: $$X \sim B(n, p) \implies X \sim B(5, 0.1)$$ Donde: - $n = 5$ (número de ensayos) - $p = 0.1$ (probabilidad de éxito) - $q = 1 - p = 0.9$ (probabilidad de fracaso)

Se pide calcular $P(X \le 3)$. Esto equivale a sumar las probabilidades de obtener 0, 1, 2 o 3 críticos: $$P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$$ Es más eficiente calcularlo a través del suceso contrario: $$P(X \le 3) = 1 - P(X \gt 3) = 1 - [P(X=4) + P(X=5)]$$ Usamos la fórmula de la probabilidad binomial $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$: 1. Para $k=4$: $$P(X=4) = \binom{5}{4} (0.1)^4 (0.9)^1 = 5 \cdot 0.0001 \cdot 0.9 = 0.00045$$ 2. Para $k=5$: $$P(X=5) = \binom{5}{5} (0.1)^5 (0.9)^0 = 1 \cdot 0.00001 \cdot 1 = 0.00001$$ Sumamos ambos valores: $$P(X \gt 3) = 0.00045 + 0.00001 = 0.00046$$ Finalmente: $$P(X \le 3) = 1 - 0.00046 = 0.99954$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 3) = 0.99954}$$ 💡 **Tip:** El uso del suceso contrario es muy útil cuando el número de casos a sumar para la probabilidad directa es mayor que los casos del complemento.

**b) En otra situación con ataques mejorados, la probabilidad de crítico es de 0.20. Si se realizan 100 ataques, calcula la probabilidad de obtener no menos de 15 y no más de 25 críticos.** En este caso tenemos: - $n = 100$ - $p = 0.20$ - $q = 0.80$ Comprobamos si se puede aproximar por una normal: 1. $n \cdot p = 100 \cdot 0.2 = 20 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 100 \cdot 0.8 = 80 \gt 5$ Como se cumplen las condiciones, aproximamos $X \sim B(100, 0.2)$ por una normal $Y \sim N(\mu, \sigma)$: - Media: $\mu = n \cdot p = 20$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0.2 \cdot 0.8} = \sqrt{16} = 4$ Por tanto, operaremos con **$Y \sim N(20, 4)$**.

Se nos pide la probabilidad de que el número de críticos esté entre 15 y 25 (inclusive): $$P(15 \le X \le 25)$$ Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la corrección por continuidad, ampliando el intervalo 0.5 unidades por cada extremo: $$P(15-0.5 \le Y \le 25+0.5) = P(14.5 \le Y \le 25.5)$$ 💡 **Tip:** La corrección de Yates es fundamental cuando aproximamos distribuciones discretas por continuas para no perder la probabilidad de los valores exactos de los extremos.

Tipificamos la variable para usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante $Z = \dfrac{Y - \mu}{\sigma}$: $$P\left(\frac{14.5 - 20}{4} \le Z \le \frac{25.5 - 20}{4}\right) = P(-1.375 \le Z \le 1.375)$$ Calculamos la probabilidad por simetría: $$P(-1.375 \le Z \le 1.375) = P(Z \le 1.375) - P(Z \le -1.375)$$ $$= P(Z \le 1.375) - [1 - P(Z \le 1.375)] = 2 \cdot P(Z \le 1.375) - 1$$ Buscamos en la tabla de la normal estándar. Como $1.375$ está a la mitad entre $1.37$ y $1.38$: - $P(Z \le 1.37) = 0.9147$ - $P(Z \le 1.38) = 0.9162$ - Interpolando: $P(Z \le 1.375) \approx 0.91545$ Sustituyendo: $$\text{Probabilidad} = 2 \cdot 0.91545 - 1 = 1.8309 - 1 = 0.8309$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(15 \le X \le 25) \approx 0.8309 \text{ (u 83.09%)}}$$