Geometría en el espacio: planos paralelos, perpendiculares y volumen

**a) Comprobar que $\pi_1 \parallel \pi_2$ y $\pi_3 \parallel \pi_4$.** Primero, identificamos los vectores normales $\vec{n}$ de cada plano, que corresponden a los coeficientes de $(x, y, z)$ en sus ecuaciones generales: * $\pi_1: x - y = 0 \implies \vec{n}_1 = (1, -1, 0)$ * $\pi_2: x - y + 1 = 0 \implies \vec{n}_2 = (1, -1, 0)$ * $\pi_3: z + 1 = 0 \implies \vec{n}_3 = (0, 0, 1)$ * $\pi_4: z - 1 = 0 \implies \vec{n}_4 = (0, 0, 1)$ Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales: 1. **Para $\pi_1$ y $\pi_2$:** Observamos que $\vec{n}_1 = \vec{n}_2$. Al ser el mismo vector (proporcionalidad con constante $k=1$), los planos son paralelos. 2. **Para $\pi_3$ y $\pi_4$:** Observamos que $\vec{n}_3 = \vec{n}_4$. De igual forma, al ser iguales, los planos son paralelos. 💡 **Tip:** Recuerda que para planos $Ax+By+Cz+D=0$, el vector normal es $(A, B, C)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi_1 \parallel \pi_2 \text{ y } \pi_3 \parallel \pi_4}$$

**b) Comprobar que $\{\pi_1, \pi_2\}$ son perpendiculares a $\{\pi_3, \pi_4\}$.** Dos planos son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es cero ($\vec{n}_a \cdot \vec{n}_b = 0$). Calculamos el producto escalar entre un normal del primer grupo y uno del segundo: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_3 = (1, -1, 0) \cdot (0, 0, 1) = 1(0) + (-1)(0) + 0(1) = 0$$ Como el producto escalar es nulo, $\vec{n}_1 \perp \vec{n}_3$. Dado que $\pi_1 \parallel \pi_2$ y $\pi_3 \parallel \pi_4$, si $\pi_1$ es perpendicular a $\pi_3$, automáticamente todos los planos del primer par son perpendiculares a todos los del segundo par. 💡 **Tip:** El producto escalar se define como $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{n}_1 \perp \vec{n}_3 \implies \{\pi_1, \pi_2\} \perp \{\pi_3, \pi_4\}}$$

**c) Hallar una recta paralela a los cuatro planos que pase por $(1, 0, 2)$.** Si una recta $r$ es paralela a un plano, su vector director $\vec{v}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano. Para ser paralela a los cuatro planos (que forman dos familias perpendiculares), $\vec{v}$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_3$. Obtenemos $\vec{v}$ mediante el producto vectorial: $$\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_3 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v} = \mathbf{i}(-1)(1) + \mathbf{j}(0)(0) + \mathbf{k}(1)(0) - [\mathbf{k}(-1)(0) + \mathbf{i}(0)(0) + \mathbf{j}(1)(1)]$$ $$\vec{v} = -\mathbf{i} - \mathbf{j} = (-1, -1, 0)$$ Para trabajar con valores positivos, podemos usar el vector director proporcional $\vec{v} = (1, 1, 0)$.

Con el punto $P(1, 0, 2)$ y el vector director $\vec{v} = (1, 1, 0)$, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(1, 1, 0)}$$

**d) Hallar dos planos perpendiculares a $\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4$ tales que el volumen del paralelepípedo sea 1.** Sean $\pi_5$ y $\pi_6$ los nuevos planos. Para que sean perpendiculares a los demás, su vector normal $\vec{n}_5$ debe ser perpendicular a $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_3$. Este es el vector que calculamos antes: $\vec{n}_5 = (1, 1, 0)$. Los planos tendrán la forma $x + y + D = 0$. Como los tres pares de planos son perpendiculares entre sí, forman un **ortoedro** (prisma rectangular). El volumen es el producto de las distancias entre los planos paralelos: $$V = d(\pi_1, \pi_2) \cdot d(\pi_3, \pi_4) \cdot d(\pi_5, \pi_6)$$ 1. **Distancia entre $\pi_1$ ($x-y=0$) y $\pi_2$ ($x-y+1=0$):** $$d_1 = \frac{|1 - 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 2. **Distancia entre $\pi_3$ ($z+1=0$) y $\pi_4$ ($z-1=0$):** $$d_2 = \frac{|-1 - 1|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{2}{1} = 2$$ 💡 **Tip:** La distancia entre planos paralelos $Ax+By+Cz+D_1=0$ y $Ax+By+Cz+D_2=0$ es $d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

La distancia entre $\pi_5: x + y + D_1 = 0$ y $\pi_6: x + y + D_2 = 0$ es: $$d_3 = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{2}}$$ Planteamos la ecuación del volumen: $$V = d_1 \cdot d_2 \cdot d_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 \cdot \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{2}} = 1$$ $$\frac{2}{2} \cdot |D_2 - D_1| = 1 \implies |D_2 - D_1| = 1$$ Podemos elegir valores arbitrarios que cumplan la diferencia. Por ejemplo, si fijamos $D_1 = 0$, entonces $D_2 = 1$ o $D_2 = -1$. Elegimos: * $\pi_5: x + y = 0$ * $\pi_6: x + y - 1 = 0$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi_5: x+y=0, \quad \pi_6: x+y-1=0}$$