Recta tangente de mínima pendiente y área entre curvas

**a) (1.25 puntos) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ con mínima pendiente.** La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en cualquier punto $x$ viene dada por el valor de su primera derivada $f'(x)$. Por tanto, definimos la función pendiente $m(x)$ como: $$f'(x) = 3x^2 + 2x + 1$$ Queremos encontrar el valor de $x$ que hace que esta función $m(x) = 3x^2 + 2x + 1$ sea mínima. Al tratarse de una parábola con el coeficiente principal positivo ($3 \gt 0$), sabemos que tendrá un mínimo absoluto en su vértice. 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto $x=a$ es $f'(a)$.

Para encontrar el mínimo de $m(x)$, derivamos la función pendiente e igualamos a cero (buscamos la segunda derivada de la función original $f(x)$): $$m'(x) = f''(x) = 6x + 2$$ Igualamos a cero para encontrar el punto crítico: $$6x + 2 = 0 \implies 6x = -2 \implies x = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$ Comprobamos que es un mínimo estudiando la curvatura de $m(x)$ mediante la derivada segunda de la pendiente (o tercera de la función original): $$m''(x) = f'''(x) = 6$$ Como $f'''(x) = 6 \gt 0$ para todo $x$, confirmamos que en $x = -\frac{1}{3}$ existe un **mínimo relativo** de la pendiente. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1/3) & -1/3 & (-1/3, +\infty)\\ \hline f''(x) & - & 0 & +\\ \hline f'(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ $$\boxed{x_{mín} = -\frac{1}{3}}$$

Ahora calculamos las coordenadas del punto de la gráfica y el valor de la pendiente en ese punto. 1. **Ordenada del punto:** $$y_0 = f\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)$$ $$y_0 = -\frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} = -\frac{7}{27}$$ 2. **Valor de la pendiente mínima:** $$m = f'\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) + 1$$ $$m = 3\left(\frac{1}{9}\right) - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** El punto donde la pendiente es mínima coincide con el **punto de inflexión** de la función, ya que es donde la derivada segunda se anula y cambia de signo.

Utilizamos la ecuación en forma punto-pendiente: $y - y_0 = m(x - x_0)$: $$y - \left(-\frac{7}{27}\right) = \frac{2}{3}\left(x - \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$ $$y + \frac{7}{27} = \frac{2}{3}\left(x + \frac{1}{3}\right)$$ $$y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{9} - \frac{7}{27} = \frac{18x}{27} + \frac{6}{27} - \frac{7}{27}$$ $$y = \frac{18x - 1}{27}$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la recta tangente):** $$\boxed{y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{27}}$$

**b) (1.25 puntos) Calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica $f(x)$ y la recta $y = x$.** Primero, determinamos los puntos de intersección entre $f(x) = x^3 + x^2 + x$ y $g(x) = x$ igualando ambas expresiones: $$x^3 + x^2 + x = x$$ $$x^3 + x^2 = 0$$ $$x^2(x + 1) = 0$$ Las soluciones son: - $x^2 = 0 \implies x = 0$ - $x + 1 = 0 \implies x = -1$ Los límites de integración para calcular el área serán $x = -1$ y $x = 0$. 💡 **Tip:** Al resolver $f(x) = g(x)$, los valores de $x$ obtenidos delimitan el recinto sobre el eje OX.

El área es la integral del valor absoluto de la diferencia de las funciones entre los límites hallados: $$A = \int_{-1}^{0} |f(x) - g(x)| dx = \int_{-1}^{0} (x^3 + x^2) dx$$ Como en el intervalo $(-1, 0)$ la función $x^3 + x^2$ es positiva (por ejemplo, para $x = -0.5$, $(-0.5)^3 + (-0.5)^2 = -0.125 + 0.25 = 0.125 \gt 0$), podemos calcular la integral directamente: $$A = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0}$$ Aplicamos la regla de Barrow paso a paso: $$A = \left( \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^3}{3} \right)$$ $$A = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) = - \left( \frac{3 - 4}{12} \right) = - \left( -\frac{1}{12} \right) = \frac{1}{12}$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{1}{12} \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = x^3 + x^2 + x", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x) = x", "color": "#16a34a" }, { "id": "tangente", "latex": "y = (2/3)x - 1/27", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "area", "latex": "x \\le y \\le f(x) \\{-1 \\le x \\le 0\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 1, "bottom": -1.5, "top": 1.5 } } }