Estudio de matrices con parámetros: rango, inversa y sistemas

**a) (1 punto) Estudiar el rango de la matriz $A$ en función del parámetro $a$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2a & 1 & 1 \\ a & 3 & -6 \\ a + 1 & 1 & a \end{vmatrix}$$ $$|A| = (2a \cdot 3 \cdot a) + (1 \cdot (-6) \cdot (a+1)) + (1 \cdot a \cdot 1) - [(a+1) \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot (-6) \cdot 2a + a \cdot a \cdot 1]$$ $$|A| = (6a^2) + (-6a - 6) + (a) - [3a + 3 - 12a + a^2]$$ $$|A| = 6a^2 - 5a - 6 - [a^2 - 9a + 3]$$ $$|A| = 6a^2 - 5a - 6 - a^2 + 9a - 3 = 5a^2 + 4a - 9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es automáticamente 3.

Para estudiar el rango, igualamos el determinante a cero para ver qué valores de $a$ anulan el determinante: $$5a^2 + 4a - 9 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9)}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 180}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{10} = \frac{-4 \pm 14}{10}$$ Esto nos da dos soluciones: - $a_1 = \frac{10}{10} = 1$ - $a_2 = \frac{-18}{10} = -\frac{9}{5}$ **Discusión según el valor de $a$:** 1. **Si $a \neq 1$ y $a \neq -\frac{9}{5}$:** Como $|A| \neq 0$, el rango de la matriz es **3**. 2. **Si $a = 1$:** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -6 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. El determinante es 0. Observamos que la fila 1 y la fila 3 son iguales. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5 \neq 0$. Por tanto, el rango es **2**. 3. **Si $a = -\frac{9}{5}$:** El determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 en la matriz: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -6 \end{vmatrix} = -6 - 3 = -9 \neq 0$. Por tanto, el rango es **2**. ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -9/5\}, \text{rg}(A)=3; \text{ si } a = 1 \text{ o } a = -9/5, \text{rg}(A)=2}$$

**b) (1 punto) Calcular, en el caso de que exista, la inversa de $A$ para $a = 0$.** Primero comprobamos si existe la inversa calculando el determinante para $a = 0$: $$|A| = 5(0)^2 + 4(0) - 9 = -9 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, **la inversa existe**. La matriz para $a = 0$ es: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -6 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 3 & -6 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 6$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -6 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -6$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -6 \end{vmatrix} = -9$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -6 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 0$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 6 & -6 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \\ -9 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz de adjuntos: $$(Adj(A))^T = \begin{pmatrix} 6 & 1 & -9 \\ -6 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^T$: $$A^{-1} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} 6 & 1 & -9 \\ -6 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/3 & -1/9 & 1 \\ 2/3 & 1/9 & 0 \\ 1/3 & -1/9 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} & -\frac{1}{9} & 1 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{9} & 0 \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{9} & 0 \end{pmatrix}}$$

**c) (0.5 puntos) Resolver el sistema $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ para el caso $a = 1$.** Para $a = 1$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -6 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Como vimos en el apartado (a), el $\text{rg}(A) = 2$. Al ser un sistema homogéneo, el rango de la matriz ampliada también es 2. Como $\text{rg}(A) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, estamos ante un **Sistema Compatible Indeterminado** con $3 - 2 = 1$ grado de libertad. Las ecuaciones 1 y 3 son idénticas, por lo que el sistema se reduce a: $$\begin{cases} 2x + y + z = 0 \\ x + 3y - 6z = 0 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro $(\lambda \in \mathbb{R})$: $$\begin{cases} 2x + y = -\lambda \\ x + 3y = 6\lambda \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $x = 6\lambda - 3y$. Sustituimos en la primera: $$2(6\lambda - 3y) + y = -\lambda \implies 12\lambda - 6y + y = -\lambda \implies -5y = -13\lambda \implies y = \frac{13}{5}\lambda$$ Calculamos $x$: $$x = 6\lambda - 3\left(\frac{13}{5}\lambda\right) = \frac{30\lambda - 39\lambda}{5} = -\frac{9}{5}\lambda$$ ✅ **Resultado (Solución del sistema):** $$\boxed{(x, y, z) = \left( -\frac{9}{5}\lambda, \frac{13}{5}\lambda, \lambda \right), \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$