Distribución Normal y Binomial: Control de calidad de sardinas

**a) (1 punto) Una empresa envasadora de esta variedad de sardinas solo admite como sardinas de calidad aquellas con una longitud superior a $16\text{ cm}$. ¿Qué porcentaje de las sardinas capturadas por un buque pesquero serán de la calidad que espera la empresa envasadora?** Sea $X$ la variable aleatoria que representa la longitud de la sardina en milímetros (mm). Según el enunciado: $$X \sim N(\mu = 175, \sigma = 25.75)$$ La empresa admite sardinas con longitud superior a $16\text{ cm}$, que equivale a $160\text{ mm}$. Queremos calcular $P(X \gt 160)$. Primero, tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ mediante la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \gt 160) = P\left(Z \gt \frac{160 - 175}{25.75}\right) = P\left(Z \gt \frac{-15}{25.75}\right) \approx P(Z \gt -0.58)$$ 💡 **Tip:** Es fundamental que todas las medidas estén en las mismas unidades. Aquí hemos pasado los $16\text{ cm}$ a $160\text{ mm}$ para coincidir con la media y desviación típica.

Para resolver $P(Z \gt -0.58)$, utilizamos las propiedades de simetría de la distribución normal: $$P(Z \gt -0.58) = P(Z \le 0.58)$$ Buscando el valor $0.58$ en la tabla de la distribución $N(0,1)$: $$P(Z \le 0.58) = 0.7190$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por $100$: $$0.7190 \cdot 100 = 71.90\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{71.90\%}$$

**b) (0.5 puntos) Hallar una longitud $t < 175\text{ mm}$ tal que entre $t$ y $175\text{ mm}$ estén el $18\%$ de las sardinas capturadas.** Se nos pide encontrar $t$ tal que $P(t \le X \le 175) = 0.18$, sabiendo que $t \lt 175$. Como la media es $175$, sabemos que $P(X \le 175) = 0.5$. Podemos descomponer la probabilidad de la siguiente forma: $$P(t \le X \le 175) = P(X \le 175) - P(X \le t) = 0.18$$ Sustituyendo el valor de la media: $$0.5 - P(X \le t) = 0.18 \implies P(X \le t) = 0.5 - 0.18 = 0.32$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal, la media divide a la población en dos mitades del $50\%$. Por eso $P(X \le \mu) = 0.5$.

Tipificamos el valor $t$: $$P\left(Z \le \frac{t - 175}{25.75}\right) = 0.32$$ Sea $z_t = \dfrac{t - 175}{25.75}$. Como $0.32 \lt 0.5$, el valor de $z_t$ debe ser negativo. Buscamos en la tabla el valor positivo $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - 0.32 = 0.68$: $$P(Z \le z) = 0.68 \implies z \approx 0.47$$ Por tanto, nuestro valor tipificado es $z_t = -0.47$. Ahora despejamos $t$: $$-0.47 = \frac{t - 175}{25.75}$$ $$t = 175 + (-0.47 \cdot 25.75) = 175 - 12.1025 = 162.8975$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 162.90\text{ mm}}$$

**c) (1 punto) En altamar se procesan las sardinas en lotes de $10$. Posteriormente se devuelven al mar las sardinas de cada lote que son menores de $15\text{ cm}$ por considerarlas pequeñas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote haya al menos una sardina devuelta por pequeña?** Primero, calculamos la probabilidad $p$ de que una sardina individual sea pequeña ($X \lt 150\text{ mm}$): $$p = P(X \lt 150) = P\left(Z \lt \frac{150 - 175}{25.75}\right) = P(Z \lt -0.97)$$ Utilizando la simetría: $$P(Z \lt -0.97) = 1 - P(Z \le 0.97) = 1 - 0.8340 = 0.166$$ Ahora, definimos una nueva variable $Y$ que cuenta el número de sardinas devueltas en un lote de $n=10$. $Y$ sigue una distribución Binomial: $$Y \sim B(10, 0.166)$$ 💡 **Tip:** Cuando realizamos un experimento varias veces (10 sardinas) y cada vez solo hay dos opciones (pequeña o no), usamos la Binomial $B(n, p)$.

Se pide la probabilidad de que haya al menos una sardina pequeña en el lote, es decir, $P(Y \ge 1)$. Es mucho más sencillo calcularlo mediante el suceso contrario: $$P(Y \ge 1) = 1 - P(Y = 0)$$ Aplicando la fórmula de la probabilidad binomial $P(Y=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$: $$P(Y = 0) = \binom{10}{0} (0.166)^0 (1 - 0.166)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.834)^{10}$$ $$P(Y = 0) \approx 0.1624$$ Calculamos el resultado final: $$P(Y \ge 1) = 1 - 0.1624 = 0.8376$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.8376}$$