Geometría en el espacio: Incidencia, proyecciones y simetría

**a) [1 punto] Estudiar la posición relativa de $r$ y $\pi$ y calcular su intersección.** Primero, extraemos los elementos característicos de la recta y el plano: - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (2, 1, -2)$. - Punto de la recta $r$: $P_r(1, 0, -1)$. - Vector normal al plano $\pi$: $\vec{n}_{\pi} = (1, 0, -1)$. Para estudiar la posición relativa, calculamos el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi}$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi} = (2, 1, -2) \cdot (1, 0, -1) = 2(1) + 1(0) + (-2)(-1) = 2 + 0 + 2 = 4$$ Como el producto escalar es distinto de cero ($\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi} \neq 0$), el vector director de la recta no es perpendicular al vector normal del plano. Esto implica que la recta no es paralela al plano ni está contenida en él. 💡 **Tip:** Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi} = 0$, la recta sería paralela al plano o estaría contenida en él. Como es distinto de cero, sabemos que se cortan. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son secantes (se cortan en un punto)}}$$

Para hallar el punto de intersección $I$, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 - 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi \equiv x - z = 2$: $$(1 + 2\lambda) - (-1 - 2\lambda) = 2$$ $$1 + 2\lambda + 1 + 2\lambda = 2$$ $$2 + 4\lambda = 2 \implies 4\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Ahora, sustituimos $\lambda = 0$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener las coordenadas de $I$: $$x = 1 + 2(0) = 1$$ $$y = 0$$ $$z = -1 - 2(0) = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I(1, 0, -1)}$$

**b) [0,75 puntos] Calcular la proyección ortogonal del punto $A$ sobre el plano $\pi$.** La proyección ortogonal de $A(1, 1, 1)$ sobre el plano $\pi$, que llamaremos $A'$, es el punto de intersección entre el plano $\pi$ y una recta $s$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $A$. El vector director de la recta $s$ será el vector normal del plano: $\vec{v}_s = \vec{n}_{\pi} = (1, 0, -1)$. La ecuación paramétrica de $s$ es: $$s \equiv \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 1 \\ z = 1 - \mu \end{cases}$$ Sustituimos en la ecuación del plano $\pi: x - z = 2$: $$(1 + \mu) - (1 - \mu) = 2 \implies 1 + \mu - 1 + \mu = 2 \implies 2\mu = 2 \implies \mu = 1$$ Sustituimos $\mu = 1$ en las ecuaciones de $s$: $$A' = (1 + 1, 1, 1 - 1) = (2, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es siempre el punto del plano más cercano al punto original. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A'(2, 1, 0)}$$

**c) [0,75 puntos] Calcular el punto simétrico del punto $A$ con respecto a la recta $r$.** Para hallar el simétrico $A''$ de $A$ respecto a la recta $r$, primero debemos encontrar la proyección ortogonal de $A$ sobre $r$, a la que llamaremos $M$. Para ello, definimos un plano auxiliar $\pi_{aux}$ que sea perpendicular a $r$ y pase por $A$. El vector normal de este plano será el vector director de la recta: $\vec{n}_{aux} = \vec{v}_r = (2, 1, -2)$. La ecuación del plano es $2x + y - 2z + D = 0$. Como pasa por $A(1, 1, 1)$: $$2(1) + 1(1) - 2(1) + D = 0 \implies 2 + 1 - 2 + D = 0 \implies D = -1$$ Por lo tanto, $\pi_{aux} \equiv 2x + y - 2z - 1 = 0$.

El punto $M$ es la intersección de la recta $r$ con el plano auxiliar $\pi_{aux}$. Usamos las paramétricas de $r$: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 - 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos en $2x + y - 2z - 1 = 0$: $$2(1 + 2\lambda) + (\lambda) - 2(-1 - 2\lambda) - 1 = 0$$ $$2 + 4\lambda + \lambda + 2 + 4\lambda - 1 = 0 \implies 9\lambda + 3 = 0 \implies \lambda = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$$ Calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = -1/3$ en $r$: $$x_M = 1 + 2(-1/3) = 1/3$$ $$y_M = -1/3$$ $$z_M = -1 - 2(-1/3) = -1 + 2/3 = -1/3$$ $$M\left( \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3} \right)$$

El punto $M$ es el punto medio del segmento $\overline{AA''}$. Por tanto: $$M = \frac{A + A''}{2} \implies A'' = 2M - A$$ Calculamos las coordenadas de $A''$: $$x_{A''} = 2\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$$ $$y_{A''} = 2\left(-\frac{1}{3}\right) - 1 = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3}$$ $$z_{A''} = 2\left(-\frac{1}{3}\right) - 1 = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para cualquier simetría (respecto a punto, recta o plano), el punto de proyección es siempre el punto medio entre el original y el simétrico. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A''\left( -\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{5}{3} \right)}$$