Estudio de continuidad, límites indeterminados e integración de funciones por tramos

**a) Estudio de la continuidad de $f(x)$ en $\mathbb{R}$.** Analizamos primero la continuidad en los intervalos donde la función está definida por una única expresión analítica: 1. **Intervalo $(-\infty, -1)$**: La función es $f(x) = \frac{x^2}{2+x^2}$. Es una función racional. El denominador $2+x^2$ es siempre mayor o igual a $2$ (ya que $x^2 \ge 0$ para cualquier número real), por lo que nunca se anula. Al no haber puntos que anulen el denominador, la función es **continua** en este tramo. 2. **Intervalo $(-1, \infty)$**: La función es $f(x) = \frac{2x^2}{3-3x}$. El denominador se anula si $3-3x = 0 \Rightarrow x = 1$. Como el valor $x=1$ pertenece a este intervalo, la función presenta una discontinuidad en $x=1$. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones racionales son continuas en todo su dominio, es decir, en todos los puntos excepto en aquellos que anulan el denominador.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = -1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: - **Valor de la función:** $f(-1) = \frac{(-1)^2}{2+(-1)^2} = \frac{1}{3}$. - **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x^2}{2+x^2} = \frac{1}{3}$. - **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{2x^2}{3-3x} = \frac{2(-1)^2}{3-3(-1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Como $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1) = \frac{1}{3}$, la función es **continua en $x = -1$**. $$\boxed{\text{Continua en } x = -1}$$

Analizamos el comportamiento en $x=1$, punto donde el denominador de la segunda rama se anula: - $\lim_{x \to 1^-} \frac{2x^2}{3(1-x)} = \frac{2}{0^+} = +\infty$ - $\lim_{x \to 1^+} \frac{2x^2}{3(1-x)} = \frac{2}{0^-} = -\infty$ Al ser los límites laterales infinitos, existe una **discontinuidad de salto infinito** (asíntota vertical) en $x = 1$. **Conclusión del apartado a):** La función es continua en todo $\mathbb{R}$ excepto en $x=1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**b) Cálculo del límite: $\lim_{x \to -\infty} f(x)^{2x^2 - 1}$.** Como $x \to -\infty$, estamos en el tramo $x \le -1$, por lo que usamos $f(x) = \frac{x^2}{2+x^2}$. Identificamos el tipo de indeterminación: - **Base:** $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{2+x^2} = 1$ (cociente de polinomios del mismo grado). - **Exponente:** $\lim_{x \to -\infty} (2x^2 - 1) = +\infty$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Para resolver $1^{\infty}$, usamos la fórmula: $\lim_{x \to a} g(x)^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} h(x) \cdot (g(x) - 1)}$.

Aplicamos la fórmula: $$L = e^{\lim_{x \to -\infty} (2x^2 - 1) \cdot \left( \frac{x^2}{2+x^2} - 1 \right)}$$ Operamos el paréntesis: $$\frac{x^2}{2+x^2} - 1 = \frac{x^2 - (2+x^2)}{2+x^2} = \frac{-2}{2+x^2}$$ Sustituimos en el límite del exponente: $$\lim_{x \to -\infty} (2x^2 - 1) \cdot \left( \frac{-2}{2+x^2} \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{-4x^2 + 2}{x^2 + 2}$$ El límite del cociente de polinomios de igual grado es el cociente de sus coeficientes principales: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{-4x^2 + 2}{x^2 + 2} = -4$$ Por tanto, el resultado final es $e^{-4}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{L = e^{-4} = \frac{1}{e^4}}$$

**c) Cálculo de la integral: $\int_{-1}^{0} f(x) dx$.** En el intervalo $[-1, 0]$, la función está definida por la segunda rama: $f(x) = \frac{2x^2}{3-3x}$. $$I = \int_{-1}^{0} \frac{2x^2}{3(1-x)} dx = \frac{2}{3} \int_{-1}^{0} \frac{x^2}{1-x} dx$$ Como el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, realizamos la división polinómica: $$x^2 : (-x + 1) \Rightarrow x^2 = (-x-1)(1-x) + 1$$ Por lo tanto: $$\frac{x^2}{1-x} = -x - 1 + \frac{1}{1-x}$$ 💡 **Tip:** Al integrar funciones racionales donde $grado(P) \ge grado(Q)$, el primer paso es siempre realizar la división de polinomios.

Integramos término a término: $$\frac{2}{3} \int_{-1}^{0} \left( -x - 1 + \frac{1}{1-x} \right) dx = \frac{2}{3} \left[ -\frac{x^2}{2} - x - \ln|1-x| \right]_{-1}^{0}$$ *Nota: La integral de $\frac{1}{1-x}$ es $-\ln|1-x|$ por la regla de la cadena ($u=1-x, du=-dx$).* Evaluamos en los límites: - Para $x=0$: $G(0) = -\frac{0}{2} - 0 - \ln(1) = 0$. - Para $x=-1$: $G(-1) = -\frac{(-1)^2}{2} - (-1) - \ln|1-(-1)| = -\frac{1}{2} + 1 - \ln(2) = \frac{1}{2} - \ln 2$. Calculamos $I = \frac{2}{3} [G(0) - G(-1)]$: $$I = \frac{2}{3} \left( 0 - \left( \frac{1}{2} - \ln 2 \right) \right) = \frac{2}{3} \left( \ln 2 - \frac{1}{2} \right)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I = \frac{2}{3} \ln 2 - \frac{1}{3}}$$