Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) (1.25 puntos) Discutirlo en función del parámetro $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} a+1 & 4 & 0 \\ 0 & a-1 & 1 \\ 4 & 2a & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} a+1 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & a-1 & 1 & 3 \\ 4 & 2a & 1 & 3 \end{array} \right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, por lo que empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo.

Calculamos el determinante de $A$ desarrollando por la primera fila (o aplicando la regla de Sarrus): $$|A| = (a+1) \begin{vmatrix} a-1 & 1 \\ 2a & 1 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 0$$ $$|A| = (a+1)[(a-1) - 2a] - 4(0 - 4)$$ $$|A| = (a+1)(-a-1) + 16$$ $$|A| = -(a+1)^2 + 16 = -(a^2 + 2a + 1) + 16 = -a^2 - 2a + 15$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$-a^2 - 2a + 15 = 0 \implies a^2 + 2a - 15 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-15)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}$$ Los valores obtenidos son **$a = 3$** y **$a = -5$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será Compatible Determinado.

Si **$a \neq 3$** y **$a \neq -5$**: Como el determinante $|A| \neq 0$, el rango de la matriz de coeficientes es 3. $$\text{rango}(A) = 3 = \text{rango}(A^*) = \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado** (tiene una solución única). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 3, -5 \implies \text{Sistema Compatible Determinado}}$$

Si **$a = 3$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 4 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 8 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Para el rango de $A^*$, observamos la relación entre sus filas: $$F_1 + F_2 = (4+0, 4+2, 0+1, 0+3) = (4, 6, 1, 3) = F_3$$ Como la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras ($F_3 = F_1 + F_2$), el rango de la matriz ampliada también es 2. $$\text{rango}(A) = 2 = \text{rango}(A^*) \lt \text{nº de incógnitas (3)}$$ Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 3 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Si **$a = -5$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} -4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 1 & 3 \\ 4 & -10 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 0 & -6 \end{vmatrix} = 24 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Analizamos las filas de $A^*$: $$F_2 - F_1 = (0 - (-4), -6 - 4, 1 - 0, 3 - 0) = (4, -10, 1, 3) = F_3$$ Como la tercera fila es combinación lineal de las anteriores ($F_3 = F_2 - F_1$), el rango de la matriz ampliada es 2. $$\text{rango}(A) = 2 = \text{rango}(A^*) \lt \text{nº de incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -5 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

**b) (0.5 puntos) Resolverlo para $a = 3$.** Como hemos visto, el sistema es Compatible Indeterminado. Eliminamos la tercera ecuación (por ser combinación lineal) y el sistema queda: $$\begin{cases} 4x + 4y = 0 \\ 2y + z = 3 \end{cases}$$ De la primera ecuación: $$4x = -4y \implies x = -y$$ De la segunda ecuación, despejamos $z$: $$z = 3 - 2y$$ Tomamos $y = \lambda$ como parámetro real. La solución general es: $$\begin{cases} x = -\lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 - 2\lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (-\lambda, \lambda, 3 - 2\lambda), \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) (0.75 puntos) Resolverlo para $a = 5$.** Sustituimos $a = 5$ en el sistema original (es un sistema SCD): $$\begin{cases} 6x + 4y = 0 & (1) \\ 4y + z = 3 & (2) \\ 4x + 10y + z = 3 & (3) \end{cases}$$ De la ecuación (1), despejamos $x$: $$6x = -4y \implies x = -\frac{2}{3}y$$ De la ecuación (2), despejamos $z$: $$z = 3 - 4y$$ Sustituimos ambos en la ecuación (3): $$4\left(-\frac{2}{3}y\right) + 10y + (3 - 4y) = 3$$ $$-\frac{8}{3}y + 10y - 4y + 3 = 3$$ $$-\frac{8}{3}y + 6y = 0 \implies \frac{10}{3}y = 0 \implies \mathbf{y = 0}$$ Ahora calculamos $x$ y $z$: $$x = -\frac{2}{3}(0) = \mathbf{0}$$ $$z = 3 - 4(0) = \mathbf{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (0, 0, 3)}$$