Probabilidad: Independencia y Probabilidad Condicionada

**a) (0.75 puntos) Un suceso $B$ de probabilidad $P(B) = 0.5$ es independiente de $A$. Calcule $P(A \cup B)$.** Primero, identificamos los datos: $P(A) = 0.3$ y $P(B) = 0.5$. Al ser sucesos **independientes**, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15.$$ Ahora, aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0.3 + 0.5 - 0.15 = 0.65.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos sucesos son independientes si y solo si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Esta propiedad simplifica mucho los cálculos de la unión. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.65}$$

**b) (0.75 puntos) Otro suceso $C$ cumple $P(C|A) = 0.5$. Determine $P(A \cap \overline{C})$.** Podemos resolver este apartado de dos formas. Utilizaremos la descomposición del suceso $A$. 1. Calculamos primero la intersección $P(A \cap C)$ usando la definición de probabilidad condicionada: $$P(C|A) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)} \implies P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C|A)$$ $$P(A \cap C) = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15.$$ 2. Sabemos que el suceso $A$ se compone de los elementos que están en $C$ y los que no están en $C$. Por tanto: $$P(A) = P(A \cap C) + P(A \cap \overline{C})$$ $$P(A \cap \overline{C}) = P(A) - P(A \cap C) = 0.3 - 0.15 = 0.15.$$ 💡 **Tip:** También podrías haber usado $P(\overline{C}|A) = 1 - P(C|A) = 0.5$ y luego calcular $P(A \cap \overline{C}) = P(A) \cdot P(\overline{C}|A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap \overline{C}) = 0.15}$$

**c) (1 punto) Si se tiene un suceso $D$ tal que $P(\overline{A}|D) = 0.2$ y $P(D|A) = 0.5$, calcule $P(D)$.** Para hallar $P(D)$, primero obtenemos la intersección $P(A \cap D)$ a partir de los datos de $A$: $$P(D|A) = \frac{P(A \cap D)}{P(A)} \implies P(A \cap D) = P(A) \cdot P(D|A) = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15.$$ En segundo lugar, utilizamos el dato $P(\overline{A}|D) = 0.2$ para obtener $P(A|D)$: $$P(A|D) = 1 - P(\overline{A}|D) = 1 - 0.2 = 0.8.$$ Finalmente, usamos la definición de $P(A|D)$ para despejar $P(D)$: $$P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} \implies 0.8 = \frac{0.15}{P(D)}$$ $$P(D) = \frac{0.15}{0.8} = 0.1875.$$ 💡 **Tip:** Siempre que te den una probabilidad condicionada sobre el complementario como $P(\overline{A}|D)$, es muy útil pasar al suceso directo mediante $P(A|D) = 1 - P(\overline{A}|D)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D) = 0.1875}$$