Geometría en el espacio: Triángulos, planos e intersecciones

**a) (1.25 puntos) Comprobar que forman un triángulo $T$ y hallar una ecuación del plano que los contiene.** Tres puntos forman un triángulo si no están alineados. Para comprobarlo, calculamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ y verificamos que no son proporcionales: $$\vec{AB} = B - A = (0-1, 2-(-2), -1-3) = (-1, 4, -4)$$ $$\vec{AC} = C - A = (2-1, 1-(-2), 0-3) = (1, 3, -3)$$ Comprobamos si sus componentes son proporcionales: $$\frac{-1}{1} \neq \frac{4}{3} \neq \frac{-4}{-3}$$ Como los vectores no son proporcionales, los puntos $A$, $B$ y $C$ no están alineados y, por tanto, **forman un triángulo $T$**. 💡 **Tip:** Tres puntos $A, B, C$ están alineados si $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC}$. Si no existe tal constante $k$, forman un triángulo.

Para hallar el plano $\pi$ que contiene a $A, B$ y $C$, necesitamos un punto (por ejemplo, $A(1, -2, 3)$) y un vector normal $\vec{n}$, que obtenemos mediante el producto vectorial $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$. Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 4 & -4 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix} = [\vec{i}(4)(-3) + \vec{j}(-4)(1) + \vec{k}(-1)(3)] - [\vec{k}(4)(1) + \vec{i}(-4)(3) + \vec{j}(-1)(-3)]$$ $$\vec{n} = [-12\vec{i} - 4\vec{j} - 3\vec{k}] - [4\vec{k} - 12\vec{i} + 3\vec{j}]$$ $$\vec{n} = (-12 + 12)\vec{i} + (-4 - 3)\vec{j} + (-3 - 4)\vec{k} = (0, -7, -7)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $-7$: $\vec{n} = (0, 1, 1)$. La ecuación del plano es de la forma $0x + 1y + 1z + D = 0$. Sustituimos el punto $A(1, -2, 3)$: $$0(1) + 1(-2) + 1(3) + D = 0 \implies -2 + 3 + D = 0 \implies D = -1$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{y + z - 1 = 0}$$

**b) (0.75 puntos) Calcular el corte de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ con el plano $z = 1$.** Primero obtenemos la ecuación de la recta $r$ que pasa por $A(1, -2, 3)$ con vector director $\vec{v_r} = \vec{AB} = (-1, 4, -4)$ en su forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = -2 + 4\lambda \\ z = 3 - 4\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para hallar la intersección de una recta con un plano, lo más sencillo es sustituir las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano.

Sustituimos la coordenada $z$ de la recta en la ecuación del plano dado, $z = 1$: $$3 - 4\lambda = 1$$ $$-4\lambda = 1 - 3 \implies -4\lambda = -2 \implies \lambda = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$$ Ahora calculamos las coordenadas del punto de corte $P$ sustituyendo $\lambda = 0.5$ en la recta: $$x = 1 - 0.5 = 0.5$$ $$y = -2 + 4(0.5) = -2 + 2 = 0$$ $$z = 3 - 4(0.5) = 3 - 2 = 1$$ ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{P\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)}$$

**c) (0.5 puntos) Determinar el perímetro del triángulo $T$.** El perímetro es la suma de las longitudes de los tres lados: $d(A,B)$, $d(A,C)$ y $d(B,C)$. 1. Lado $AB$ (usamos el vector $\vec{AB} = (-1, 4, -4)$): $$d(A,B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16 + 16} = \sqrt{33}$$ 2. Lado $AC$ (usamos el vector $\vec{AC} = (1, 3, -3)$): $$d(A,C) = |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19}$$ 3. Lado $BC$: $$\vec{BC} = C - B = (2-0, 1-2, 0-(-1)) = (2, -1, 1)$$ $$d(B,C) = |\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ 💡 **Tip:** El perímetro es la suma de los módulos de los vectores que forman los lados.

Sumamos las longitudes obtenidas: $$Perímetro = \sqrt{33} + \sqrt{19} + \sqrt{6}$$ Calculando los valores aproximados: $$Perímetro \approx 5.745 + 4.359 + 2.449 \approx 12.553$$ ✅ **Resultado (Perímetro):** $$\boxed{\sqrt{33} + \sqrt{19} + \sqrt{6} \text{ unidades}}$$