Estudio de paridad, derivabilidad y extremos de una función radical

**a) (0.25 puntos) Estudiar si es par o impar.** Para estudiar la simetría de la función, evaluamos $f(-x)$ y comparamos el resultado con $f(x)$: 1. Sustituimos $x$ por $-x$ en la expresión de la función: $$f(-x) = \sqrt[3]{((-x)^{2} - 1)^{2}}$$ 2. Como el cuadrado de un número negativo es positivo, $(-x)^2 = x^2$: $$f(-x) = \sqrt[3]{(x^{2} - 1)^{2}}$$ 3. Observamos que $f(-x) = f(x)$. 💡 **Tip:** Una función es **par** si $f(-x) = f(x)$ (simétrica respecto al eje Y) y es **impar** si $f(-x) = -f(x)$ (simétrica respecto al origen). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es par.}}$$

**b) (0.75 puntos) Estudiar su derivabilidad en el punto $x = 1$.** Antes de estudiar la derivabilidad, debemos comprobar la **continuidad** en $x = 1$. Calculamos el valor de la función y el límite: $$f(1) = \sqrt[3]{(1^2 - 1)^2} = \sqrt[3]{0} = 0$$ $$\lim_{x \to 1} \sqrt[3]{(x^2 - 1)^2} = 0$$ Como $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$, la función es **continua** en $x = 1$. No hay saltos ni discontinuidades que impidan la derivabilidad a priori. 💡 **Tip:** La derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no asegura la derivabilidad (pueden existir puntos angulosos).

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la función derivada $f'(x)$. Expresamos primero la función en forma de potencia para derivar más fácilmente: $$f(x) = ((x^2 - 1)^2)^{1/3} = (x^2 - 1)^{2/3}$$ Derivamos usando la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{2}{3}(x^2 - 1)^{2/3 - 1} \cdot (2x) = \frac{2}{3}(x^2 - 1)^{-1/3} \cdot 2x$$ Simplificando: $$f'(x) = \frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2 - 1}}$$ Ahora estudiamos el límite de la derivada cuando $x \to 1$: $$\lim_{x \to 1} f'(x) = \lim_{x \to 1} \frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2 - 1}} = \frac{4}{0}$$ Analizamos los límites laterales: - Por la izquierda ($x \to 1^-$): $x^2-1 \lt 0$, luego $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = -\infty$ - Por la derecha ($x \to 1^+$): $x^2-1 \gt 0$, luego $\lim_{x \to 1^+} f'(x) = +\infty$ Como los límites de la derivada tienden a infinito, la función presenta un punto de retroceso (cúspide) en $x=1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función no es derivable en } x = 1}$$

**c) (1.5 puntos) Estudiar sus extremos relativos y absolutos.** Los candidatos a extremos son los puntos donde $f'(x) = 0$ y los puntos donde la función es continua pero no derivable. 1. **Puntos donde $f'(x) = 0$**: $$f'(x) = \frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2 - 1}} = 0 \implies 4x = 0 \implies x = 0$$ 2. **Puntos donde no existe la derivada** (pero la función es continua): El denominador se anula en $x^2 - 1 = 0 \implies x = 1$ y $x = -1$. 💡 **Tip:** No olvides incluir los puntos donde la derivada no existe si la función es continua en ellos, ya que pueden ser máximos o mínimos (como los vértices de un valor absoluto).

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $x = -1, 0, 1$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & + & 0 & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Justificación de los signos: - En $(-\infty, -1)$, probamos $x = -2$: $f'(-2) = \frac{-8}{3\sqrt[3]{3}} \lt 0$. - En $(-1, 0)$, probamos $x = -0.5$: $f'(-0.5) = \frac{-2}{3\sqrt[3]{-0.75}} \gt 0$ (negativo entre negativo). - En $(0, 1)$, probamos $x = 0.5$: $f'(0.5) = \frac{2}{3\sqrt[3]{-0.75}} \lt 0$. - En $(1, +\infty)$, probamos $x = 2$: $f'(2) = \frac{8}{3\sqrt[3]{3}} \gt 0$.

Calculamos las ordenadas de los puntos críticos: - $f(-1) = \sqrt[3]{((-1)^2 - 1)^2} = 0$ - $f(0) = \sqrt[3]{(0^2 - 1)^2} = \sqrt[3]{1} = 1$ - $f(1) = \sqrt[3]{(1^2 - 1)^2} = 0$ **Extremos Relativos:** - **Mínimos relativos** en $(-1, 0)$ y $(1, 0)$. - **Máximo relativo** en $(0, 1)$. **Extremos Absolutos:** - Como $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$, la función crece indefinidamente. **No tiene máximo absoluto**. - El valor más pequeño que alcanza la función es $y = 0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Mínimos relativos y absolutos: } (-1, 0) \text{ y } (1, 0) \\ &\text{Máximo relativo: } (0, 1) \\ &\text{Máximo absoluto: No existe} \end{aligned}}$$