Sistema de ecuaciones: transporte de tierra con camiones

Para resolver este problema, definiremos las siguientes variables que representarán el número de camiones de cada tipo que operan en la obra: * $x$: número de camiones de tipo $A$ (capacidad $14$ t). * $y$: número de camiones de tipo $B$ (capacidad $24$ t). * $z$: número de camiones de tipo $C$ (capacidad $28$ t). 💡 **Tip:** Identificar claramente qué representa cada variable es fundamental antes de plantear las ecuaciones. En este caso, buscamos cantidades de camiones para luego calcular las toneladas.

A partir de la información del enunciado, planteamos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1. **Relación de cantidad:** "Habría que traer un camión más de tipo $A$ para igualar al número de camiones restantes ($B$ y $C$)": $$x + 1 = y + z \quad \Rightarrow \quad x - y - z = -1 \quad \text{(Ec. 1)}$$ 2. **Relación de capacidades parciales:** "El $10\%$ de la capacidad de todos los camiones tipo $B$ supone un séptimo de la de los de mayor tonelaje (tipo $C$)": La capacidad total de $B$ es $24y$. Su $10\%$ es $0.1 \cdot 24y = 2.4y$. La capacidad de los de tipo $C$ es $28z$. Un séptimo es $\frac{1}{7} \cdot 28z = 4z$. $$2.4y = 4z \quad \Rightarrow \quad y = \frac{4}{2.4}z = \frac{40}{24}z = \frac{5}{3}z \quad \text{(Ec. 2)}$$ 3. **Capacidad total:** "Hoy... se han extraído de la obra $302$ toneladas de tierra": $$14x + 24y + 28z = 302 \quad \text{(Ec. 3)}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de que todas las unidades sean coherentes (toneladas en este caso) antes de igualar las expresiones.

Utilizaremos el método de sustitución. Primero, sustituimos la **Ec. 2** ($y = \frac{5}{3}z$) en la **Ec. 1** para expresar $x$ en función de $z$: $$x - \frac{5}{3}z - z = -1$$ $$x - \frac{8}{3}z = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{8}{3}z - 1$$ Ahora sustituimos las expresiones de $x$ e $y$ en la **Ec. 3**: $$14\left(\frac{8}{3}z - 1\right) + 24\left(\frac{5}{3}z\right) + 28z = 302$$ Multiplicamos y simplificamos: $$\frac{112}{3}z - 14 + 40z + 28z = 302$$ $$\frac{112}{3}z + 68z = 316$$ Para eliminar el denominador, multiplicamos toda la ecuación por $3$: $$112z + 204z = 948$$ $$316z = 948$$ Despejamos $z$: $$z = \frac{948}{316} = 3$$ $$\boxed{z = 3 \text{ camiones de tipo C}}$$

Una vez hallado $z = 3$, calculamos los valores de $x$ e $y$ sustituyendo en las expresiones obtenidas anteriormente: Para $y$: $$y = \frac{5}{3} \cdot 3 = 5$$ Para $x$: $$x = \frac{8}{3} \cdot 3 - 1 = 8 - 1 = 7$$ Por tanto, el número de camiones es: $$\boxed{x = 7, \quad y = 5, \quad z = 3}$$

El problema pregunta específicamente por la **cantidad de tierra** transportada por cada tipo de camión hoy: * **Camiones tipo $A$:** Multiplicamos el número de camiones por su capacidad: $$7 \text{ camiones} \times 14 \text{ t/camión} = \mathbf{98 \text{ toneladas}}$$ * **Camiones tipo $B$:** $$5 \text{ camiones} \times 24 \text{ t/camión} = \mathbf{120 \text{ toneladas}}$$ * **Camiones tipo $C$:** $$3 \text{ camiones} \times 28 \text{ t/camión} = \mathbf{84 \text{ toneladas}}$$ Comprobación final: $98 + 120 + 84 = 302$ toneladas. Es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Tipo A: 98 t, Tipo B: 120 t, Tipo C: 84 t}}$$