Distribución normal de los pesos de los recién nacidos

**a) [0,5 p.] ¿Cuál es el porcentaje de recién nacidos cuyo peso está comprendido entre 3,464 y 4,502 kg?** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el peso de los recién nacidos, donde $X \sim N(\mu, \sigma)$. Del enunciado conocemos los siguientes datos: 1. El 67% pesan menos de 3,464 kg: $P(X \lt 3,464) = 0,6700$. 2. El 1,5% pesan más de 4,502 kg: $P(X \gt 4,502) = 0,0150$. Para calcular la probabilidad de que el peso esté entre estos dos valores, restamos a la probabilidad total de ser menor que el límite superior la probabilidad de ser menor que el límite inferior: $$P(3,464 \lt X \lt 4,502) = P(X \lt 4,502) - P(X \lt 3,464)$$ Calculamos primero $P(X \lt 4,502)$ usando el suceso contrario: $$P(X \lt 4,502) = 1 - P(X \gt 4,502) = 1 - 0,0150 = 0,9850$$ Ahora sustituimos los valores: $$P(3,464 \lt X \lt 4,502) = 0,9850 - 0,6700 = 0,3150$$ Convertimos a porcentaje multiplicando por 100. ✅ **Resultado:** $$\boxed{31,50\%}$$

**b) [1 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.** Para hallar $\mu$ y $\sigma$, debemos tipificar la variable utilizando $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$, donde $Z \sim N(0, 1)$. **1. A partir de $P(X \lt 3,464) = 0,6700$:** $$P\left( Z \lt \frac{3,464 - \mu}{\sigma} \right) = 0,6700$$ Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor de $z$ cuya probabilidad acumulada es $0,6700$. Encontramos que $z_1 = 0,44$. $$\frac{3,464 - \mu}{\sigma} = 0,44 \implies 3,464 - \mu = 0,44\sigma \quad \text{(Ecuación 1)}$$ **2. A partir de $P(X \gt 4,502) = 0,0150$:** Como ya calculamos, $P(X \lt 4,502) = 0,9850$. Tipificamos: $$P\left( Z \lt \frac{4,502 - \mu}{\sigma} \right) = 0,9850$$ Buscamos en la tabla el valor de $z$ para $0,9850$. Encontramos $z_2 = 2,17$. $$\frac{4,502 - \mu}{\sigma} = 2,17 \implies 4,502 - \mu = 2,17\sigma \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** Al buscar en la tabla, si el valor exacto no aparece, toma el más cercano o realiza una interpolación lineal.

Tenemos el sistema: $$\begin{cases} \mu + 0,44\sigma = 3,464 \\ \mu + 2,17\sigma = 4,502 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $\mu$: $$(2,17\sigma - 0,44\sigma) = 4,502 - 3,464$$ $$1,73\sigma = 1,038$$ $$\sigma = \frac{1,038}{1,73} = 0,6$$ Ahora sustituimos $\sigma = 0,6$ en la primera ecuación para hallar $\mu$: $$\mu + 0,44(0,6) = 3,464$$ $$\mu + 0,264 = 3,464$$ $$\mu = 3,464 - 0,264 = 3,2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 3,20 \text{ kg}, \quad \sigma = 0,60 \text{ kg}}$$

**c) [1 p.] Calcule el porcentaje de recién nacidos que pesan menos de 2,33 kg.** Utilizamos la distribución $X \sim N(3,2; 0,6)$ y queremos hallar $P(X \lt 2,33)$. Tipificamos: $$Z = \frac{2,33 - 3,2}{0,6} = \frac{-0,87}{0,6} = -1,45$$ Calculamos la probabilidad: $$P(X \lt 2,33) = P(Z \lt -1,45)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \lt -1,45) = P(Z \gt 1,45) = 1 - P(Z \le 1,45)$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$ el valor para $1,45$: $$P(Z \le 1,45) = 0,9265$$ Entonces: $$P(Z \lt -1,45) = 1 - 0,9265 = 0,0735$$ Expresamos el resultado final como porcentaje: $$0,0735 \cdot 100 = 7,35\%$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para valores negativos de $Z$, usamos la propiedad $P(Z \lt -a) = 1 - P(Z \lt a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{7,35\%}$$