Probabilidades en salas de cine

**a) [0,25 p.] La probabilidad de que el espectador haya estado en la sala C.** Primero, definimos los sucesos principales del experimento aleatorio: - $A$: El espectador ha estado en la sala A. - $B$: El espectador ha estado en la sala B. - $C$: El espectador ha estado en la sala C. - $G$: Al espectador le ha gustado la película. - $\bar{G}$: Al espectador no le ha gustado la película. Calculamos las probabilidades de haber estado en cada sala (probabilidades a priori): - $P(A) = \dfrac{100}{250} = 0,4$ - $P(B) = \dfrac{50}{250} = 0,2$ - $P(C) = \dfrac{100}{250} = 0,4$ Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad: Como ya hemos calculado anteriormente, la probabilidad de que el espectador haya estado en la sala C es: $$P(C) = \frac{100}{250} = 0,4$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(C) = 0,4}$$

**b) [0,5 p.] La probabilidad de que le haya gustado la película, sabiendo que ha estado en la sala C.** Este dato nos lo proporciona directamente el enunciado al decir que "la película de la sala C gusta al 60% de los espectadores". En términos de probabilidad condicionada, esto se expresa como la probabilidad de que le guste ($G$) dado que sabemos que está en la sala $C$: $$P(G|C) = 60\% = 0,6$$ 💡 **Tip:** No confundas $P(G|C)$ (probabilidad de que le guste sabiendo que es de la sala C) con $P(G \cap C)$ (probabilidad de que sea de la sala C y le guste). ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{P(G|C) = 0,6}$$

**c) [0,5 p.] La probabilidad de que le haya gustado la película y haya estado en la sala C.** Nos piden la probabilidad de la intersección de ambos sucesos: $P(G \cap C)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(G \cap C) = P(C) \cdot P(G|C)$$ Sustituimos los valores obtenidos en los apartados anteriores: $$P(G \cap C) = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24$$ ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{P(G \cap C) = 0,24}$$

**d) [0,75 p.] La probabilidad de que le haya gustado la película.** Para calcular $P(G)$, debemos tener en cuenta que el espectador puede haber estado en cualquiera de las tres salas. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(G) = P(A) \cdot P(G|A) + P(B) \cdot P(G|B) + P(C) \cdot P(G|C)$$ Sustituimos los valores según el enunciado y el árbol: - $P(A) \cdot P(G|A) = 0,4 \cdot 0,8 = 0,32$ - $P(B) \cdot P(G|B) = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04$ - $P(C) \cdot P(G|C) = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24$ Sumamos los resultados: $$P(G) = 0,32 + 0,04 + 0,24 = 0,60$$ 💡 **Tip:** La suma de las probabilidades de todas las ramas que terminan en "gusta" nos da la probabilidad total de ese suceso. ✅ **Resultado apartado d):** $$\boxed{P(G) = 0,6}$$

**e) [0,5 p.] La probabilidad de que le haya gustado la película o haya estado en la sala C.** Nos piden la probabilidad de la unión de los sucesos $G$ y $C$, es decir, $P(G \cup C)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(G \cup C) = P(G) + P(C) - P(G \cap C)$$ Sustituimos los valores calculados en los apartados previos: - $P(G) = 0,6$ - $P(C) = 0,4$ - $P(G \cap C) = 0,24$ Calculamos: $$P(G \cup C) = 0,6 + 0,4 - 0,24 = 1,0 - 0,24 = 0,76$$ ✅ **Resultado apartado e):** $$\boxed{P(G \cup C) = 0,76}$$