Posición relativa de recta y plano. Intersección y ángulo

**a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ en función del parámetro $a$.** Primero, identificamos el vector normal del plano $\pi$ y un punto y vector director de la recta $r$: - El vector normal al plano $\pi: 2x + ay - 2z = -4$ es $\vec{n}_\pi = (2, a, -2)$. - De la ecuación continua de la recta $r$, extraemos el punto $P_r = (-1, -1, 5)$ y su vector director $\vec{v}_r = (2, 1, -2)$. 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$. ¡Cuidado con los signos en el punto!

La recta $r$ y el plano $\pi$ son paralelos o la recta está contenida en el plano si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. Esto ocurre cuando su producto escalar es cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(2, 1, -2) \cdot (2, a, -2) = 2(2) + 1(a) + (-2)(-2) = 4 + a + 4 = a + 8$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$a + 8 = 0 \implies a = -8$$ - **Caso 1: Si $a \neq -8$** El producto escalar es distinto de cero ($\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$), lo que significa que la recta y el plano no son paralelos. Por tanto, la recta **corta al plano en un único punto** (son secantes). - **Caso 2: Si $a = -8$** El vector director es perpendicular al normal. La recta es paralela al plano o está contenida en él. Para distinguirlo, comprobamos si el punto $P_r(-1, -1, 5)$ pertenece al plano $\pi$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación con $a=-8$: $$2(-1) + (-8)(-1) - 2(5) = -2 + 8 - 10 = -4$$ Como $-4 = -4$, el punto pertenece al plano. ✅ **Resultado (Posición relativa):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq -8: & \text{La recta y el plano son secantes (se cortan en un punto).} \\ \text{Si } a = -8: & \text{La recta } r \text{ está contenida en el plano } \pi. \end{cases}}$$

**b) [0,75 p.] Calcule el punto de corte de la recta $r$ y el plano $\pi$.** Para $a=1$, el plano es $\pi: 2x + y - 2z = -4$. Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 5 - 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano para hallar el valor de $\lambda$ en el punto de corte: $$2(-1 + 2\lambda) + (-1 + \lambda) - 2(5 - 2\lambda) = -4$$ $$-2 + 4\lambda - 1 + \lambda - 10 + 4\lambda = -4$$ $$9\lambda - 13 = -4 \implies 9\lambda = 9 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$: $$x = -1 + 2(1) = 1, \quad y = -1 + 1 = 0, \quad z = 5 - 2(1) = 3$$ ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{P(1, 0, 3)}$$

**c) [0,5 p.] Calcule el ángulo que forman.** El ángulo $\alpha$ entre una recta y un plano se calcula mediante el seno, usando el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: $$\sin \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_\pi|}$$ Para $a=1$, tenemos: - $\vec{v}_r = (2, 1, -2) \implies |\vec{v}_r| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ - $\vec{n}_\pi = (2, 1, -2) \implies |\vec{n}_\pi| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ - $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (2)(2) + (1)(1) + (-2)(-2) = 4 + 1 + 4 = 9$ Sustituimos: $$\sin \alpha = \frac{|9|}{3 \cdot 3} = \frac{9}{9} = 1$$ Si $\sin \alpha = 1$, entonces $\alpha = 90^\circ$. 💡 **Tip:** Cuando el vector director de la recta y el normal del plano son paralelos (como en este caso, que son iguales), la recta es perpendicular al plano. ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha = 90^\circ \text{ (son perpendiculares)}}$$