Proyección ortogonal y geometría del triángulo en el espacio

**a) [1,5 p.] Calcule las coordenadas del vértice $C$.** Para trabajar con la recta $r$, es conveniente pasar de su forma implícita a su forma paramétrica. Resolvemos el sistema en función de un parámetro $\lambda$: De la primera ecuación: $x - 2y = 5 \implies 2y = x - 5 \implies y = \frac{x-5}{2}$ De la segunda ecuación: $x + 2z = 5 \implies 2z = 5 - x \implies z = \frac{5-x}{2}$ Si llamamos $x = 5 + 2\lambda$, obtenemos: $y = \frac{(5+2\lambda)-5}{2} = \lambda$ $z = \frac{5-(5+2\lambda)}{2} = -\lambda$ La ecuación paramétrica de la recta $r$ es: $$r : \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -\lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos un punto de la recta $P_r(5, 0, 0)$ y su vector director $\vec{v}_r = (2, 1, -1)$. 💡 **Tip:** Para pasar a paramétricas, también puedes hacer el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta para hallar el vector director.

Para encontrar la proyección ortogonal $C$ del punto $A$ sobre la recta $r$, utilizaremos un plano auxiliar $\pi$ que sea perpendicular a $r$ y que contenga al punto $A(6, -4, 4)$. El vector normal del plano $\pi$ será el vector director de la recta: $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (2, 1, -1)$. La ecuación del plano $\pi$ es de la forma: $$2x + 1y - 1z + D = 0$$ Sustituimos el punto $A(6, -4, 4)$ para hallar $D$: $$2(6) + 1(-4) - 1(4) + D = 0 \implies 12 - 4 - 4 + D = 0 \implies 4 + D = 0 \implies D = -4$$ La ecuación del plano perpendicular es: $$\pi: 2x + y - z - 4 = 0$$

El punto $C$ es la intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Sustituimos las expresiones de las paramétricas de $r$ en la ecuación del plano: $$2(5 + 2\lambda) + (\lambda) - (-\lambda) - 4 = 0$$ $$10 + 4\lambda + \lambda + \lambda - 4 = 0$$ $$6\lambda + 6 = 0 \implies \lambda = -1$$ Ahora calculamos las coordenadas de $C$ sustituyendo $\lambda = -1$ en las paramétricas de $r$: $x = 5 + 2(-1) = 3$ $y = -1$ $z = -(-1) = 1$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{C = (3, -1, 1)}$$

**b) [0,5 p.] Determine si el triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en el vértice $A$.** Para que exista un ángulo recto en $A$, los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ deben ser perpendiculares, es decir, su producto escalar debe ser cero. Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (12 - 6, -1 - (-4), 1 - 4) = (6, 3, -3)$$ $$\vec{AC} = C - A = (3 - 6, -1 - (-4), 1 - 4) = (-3, 3, -3)$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (6) \cdot (-3) + (3) \cdot (3) + (-3) \cdot (-3)$$ $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -18 + 9 + 9 = 0$$ Como el producto escalar es 0, los vectores son ortogonales. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{El triángulo tiene un ángulo recto en el vértice } A}$$

**c) [0,5 p.] Calcule el área del triángulo $ABC$.** El área de un triángulo con vértices $A$, $B$ y $C$ viene dada por la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & 3 & -3 \\ -3 & 3 & -3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = [3(-3)\vec{i} + (-3)(-3)\vec{j} + 6(3)\vec{k}] - [(-3)3\vec{k} + 3(-3)\vec{i} + (-3)6\vec{j}]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (-9\vec{i} + 9\vec{j} + 18\vec{k}) - (-9\vec{k} - 9\vec{i} - 18\vec{j})$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (0\vec{i} + 27\vec{j} + 27\vec{k}) = (0, 27, 27)$$ Calculamos el módulo: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 27^2 + 27^2} = \sqrt{2 \cdot 27^2} = 27\sqrt{2}$$ Finalmente, el área es: $$\text{Área} = \frac{27\sqrt{2}}{2} \approx 19,09 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Al ser un triángulo rectángulo en $A$, también podías calcular el área como $\frac{1}{2} |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|$. ✅ **Resultado del apartado c):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{27\sqrt{2}}{2} \text{ u}^2}$$