Integral de función trigonométrica y cálculo de primitiva

**a) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.** Para resolver la integral indefinida $\int \frac{\text{sen } x}{1 + \cos^2 x} dx$, observamos que la estructura del denominador sugiere la derivada de la función arcotangente. Recordamos que la derivada de $y = \arctan(g(x))$ es $y' = \frac{g'(x)}{1 + [g(x)]^2}$. En nuestro caso, si tomamos $g(x) = \cos x$, su derivada es $g'(x) = -\text{sen } x$. El numerador de nuestra función es casi la derivada del coseno, salvo por un signo negativo. Manipulamos la integral para que aparezca dicha derivada: $$\int \frac{\text{sen } x}{1 + \cos^2 x} dx = - \int \frac{-\text{sen } x}{1 + \cos^2 x} dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas un cociente donde el denominador sea $1 + [g(x)]^2$, comprueba si el numerador es la derivada de $g(x)$ para aplicar la regla de la arcotangente. $$\boxed{\int f(x) dx = -\arctan(\cos x) + C}$$

**b) [0,75 p.] Calcule la integral definida $\int_{0}^{\pi/2} f(x) dx$.** Utilizamos la primitiva hallada en el apartado anterior, $F(x) = -\arctan(\cos x)$, y aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[0, \pi/2]$: $$\int_{0}^{\pi/2} \frac{\text{sen } x}{1 + \cos^2 x} dx = \left[ -\arctan(\cos x) \right]_{0}^{\pi/2}$$ Calculamos los valores en los extremos: 1. Para el límite superior ($x = \pi/2$): $$F(\pi/2) = -\arctan(\cos(\pi/2)) = -\arctan(0) = 0$$ 2. Para el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = -\arctan(\cos(0)) = -\arctan(1) = -\frac{\pi}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\cos(\pi/2) = 0$ y $\cos(0) = 1$. Además, el ángulo cuya tangente es $1$ es $\pi/4$ radianes ($45^\circ$). Restamos ambos valores: $$\int_{0}^{\pi/2} f(x) dx = F(\pi/2) - F(0) = 0 - \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{\pi}{4}}$$

**c) [0,75 p.] Determine la primitiva de $f(x)$ que pasa por el punto $(\pi, 1)$.** Una primitiva genérica es $F(x) = -\arctan(\cos x) + C$. Queremos hallar el valor de $C$ tal que la función pase por el punto $(\pi, 1)$, es decir, que se cumpla $F(\pi) = 1$. Sustituimos $x = \pi$ en la expresión: $$F(\pi) = -\arctan(\cos \pi) + C = 1$$ Sabemos que $\cos \pi = -1$, por lo tanto: $$-\arctan(-1) + C = 1$$ Como la función arcotangente es impar, $\arctan(-1) = -\arctan(1) = -\frac{\pi}{4}$: $$-\left( -\frac{\pi}{4} \right) + C = 1 \implies \frac{\pi}{4} + C = 1$$ Despejamos la constante $C$: $$C = 1 - \frac{\pi}{4}$$ 💡 **Tip:** Para que una función pase por un punto $(x_0, y_0)$, basta con imponer la condición $F(x_0) = y_0$ y despejar la incógnita. La primitiva buscada es: $$\boxed{F(x) = -\arctan(\cos x) + 1 - \frac{\pi}{4}}$$