Estudio de función exponencial: límites, derivadas e integrales

**a) [0,75 p.] Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.** Para calcular el límite de $f(x) = x e^{-x}$ cuando $x \to +\infty$, observamos que tenemos una indeterminación de tipo $\infty \cdot 0$: $$\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Para resolver esta indeterminación, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x}$$ Evaluando el límite resultante: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = \frac{1}{+\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital es muy útil para resolver indeterminaciones del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$ siempre que las funciones sean derivables. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$$ Esto indica que la función tiene una asíntota horizontal $y=0$ hacia $+\infty$.

**b) [0,75 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f(x)$ y sus extremos relativos (máximos y/o mínimos).** Calculamos la derivada de $f(x) = x e^{-x}$ utilizando la regla del producto: $$f'(x) = (x)' \cdot e^{-x} + x \cdot (e^{-x})'$$ $$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x})$$ $$f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = (1 - x)e^{-x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{g(x)}$ es $g'(x)e^{g(x)}$. En este caso, para $e^{-x}$, su derivada es $-1 \cdot e^{-x}$. ✅ **Resultado de la derivada:** $$\boxed{f'(x) = (1 - x)e^{-x}}$$

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies (1 - x)e^{-x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x}$ nunca es cero para ningún valor real de $x$, la única solución es: $$1 - x = 0 \implies x = 1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por este punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline 1 - x & + & 0 & - \\ e^{-x} & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Monotonía} & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ **Conclusiones:** - La función es **creciente** en el intervalo $(-\infty, 1)$. - La función es **decreciente** en el intervalo $(1, +\infty)$. - Existe un **máximo relativo** en $x = 1$. Hallamos su coordenada $y$: $$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$ ✅ **Resultado final del apartado:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, 1); \text{ Decrecimiento: } (1, +\infty); \text{ Máximo: } (1, 1/e)}$$

**c) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.** Debemos calcular $\int x e^{-x} \, dx$. Utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos las partes según la regla ALPES: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^{-x} \, dx \implies v = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$ 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Aplicando la fórmula: $$\int x e^{-x} \, dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \, dx$$ $$\int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} \, dx$$ Resolvemos la integral restante: $$\int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} + (-e^{-x}) + C$$ Factoreando el término común $-e^{-x}$: $$\int x e^{-x} \, dx = -(x + 1)e^{-x} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int f(x) \, dx = -(x + 1)e^{-x} + C}$$