Matrices 2-nilpotentes e invertibilidad

**a) [0,75 p.] Justifique razonadamente que una matriz 2-nilpotente nunca puede ser regular (o invertible).** Para justificar que una matriz no es regular, debemos demostrar que su determinante es igual a cero. Partimos de la condición dada: $A^2 = 0$. Aplicamos la función determinante a ambos lados de la igualdad: $$|A^2| = |0|$$ Usando las propiedades de los determinantes: 1. El determinante de la matriz nula es cero: $|0| = 0$. 2. El determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes: $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$. En este caso, $|A^2| = |A \cdot A| = |A| \cdot |A| = |A|^2$. Sustituyendo estas propiedades obtenemos: $$|A|^2 = 0 \implies |A| = 0$$ Como el determinante de $A$ es necesariamente cero, la matriz no posee inversa y, por lo tanto, no puede ser regular. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada $A$ es invertible (o regular) si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } A^2 = 0 \implies |A| = 0, \text{ por lo que no es invertible.}}$$

**b) [0,75 p.] Compruebe que la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & -9 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ es 2-nilpotente.** Para comprobarlo, calculamos $A^2$ mediante el producto de $A$ por sí misma: $$A^2 = \begin{pmatrix} 3 & -9 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -9 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento $c_{11}: (3 \cdot 3) + (-9 \cdot 1) = 9 - 9 = 0$ - Elemento $c_{12}: (3 \cdot (-9)) + (-9 \cdot (-3)) = -27 + 27 = 0$ - Elemento $c_{21}: (1 \cdot 3) + (-3 \cdot 1) = 3 - 3 = 0$ - Elemento $c_{22}: (1 \cdot (-9)) + (-3 \cdot (-3)) = -9 + 9 = 0$ Obtenemos: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Como $A^2$ es la matriz nula, la matriz $A$ cumple la definición de 2-nilpotente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \implies A \text{ es 2-nilpotente}}$$

**c) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ y $b$ la matriz $A = \begin{pmatrix} 6 & a \\ 4 & b \end{pmatrix}$ es 2-nilpotente.** Calculamos $A^2$ en función de los parámetros $a$ y $b$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 6 & a \\ 4 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & a \\ 4 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cdot 6 + a \cdot 4 & 6 \cdot a + a \cdot b \\ 4 \cdot 6 + b \cdot 4 & 4 \cdot a + b \cdot b \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 36 + 4a & 6a + ab \\ 24 + 4b & 4a + b^2 \end{pmatrix}$$ Para que $A$ sea 2-nilpotente, se debe cumplir que $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, lo que nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} 36 + 4a = 0 \\ 6a + ab = 0 \\ 24 + 4b = 0 \\ 4a + b^2 = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar matrices, el elemento de la fila $i$ y columna $j$ es la suma de los productos de los elementos de la fila $i$ de la primera matriz por los de la columna $j$ de la segunda.

Resolvemos las ecuaciones más sencillas para encontrar los valores de $a$ y $b$: 1. De la primera ecuación: $$36 + 4a = 0 \implies 4a = -36 \implies a = -9$$ 2. De la tercera ecuación: $$24 + 4b = 0 \implies 4b = -24 \implies b = -6$$ Ahora debemos verificar si estos valores satisfacen las otras dos ecuaciones restantes: - Segunda ecuación ($6a + ab = 0$): $$6(-9) + (-9)(-6) = -54 + 54 = 0 \quad \text{(Se cumple)}$$ - Cuarta ecuación ($4a + b^2 = 0$): $$4(-9) + (-6)^2 = -36 + 36 = 0 \quad \text{(Se cumple)}$$ Por tanto, los valores que hacen que la matriz sea 2-nilpotente son $a = -9$ y $b = -6$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -9, \quad b = -6}$$