Determinación de un número de tres cifras mediante un sistema de ecuaciones

**a) [1,5 p.] Denotando por $x$ la cifra de las centenas, por $y$ la de las decenas y por $z$ la de las unidades, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente la información dada en i), ii) y iii).** Primero, definimos el valor del número original en función de sus cifras: $$N = 100x + 10y + z$$ Analizamos cada condición: 1. **Suma de las cifras:** $$x + y + z = 9$$ 2. **Permutar centenas ($x$) con unidades ($z$):** El nuevo número es $100z + 10y + x$. Según el enunciado, este es igual a $N - 99$: $$100z + 10y + x = (100x + 10y + z) - 99$$ Simplificamos restando $10y$ en ambos lados y agrupando términos: $$100z + x - 100x - z = -99 \implies -99x + 99z = -99$$ Dividiendo entre $-99$ para simplificar: $$x - z = 1$$ 3. **Permutar decenas ($y$) con unidades ($z$):** El nuevo número es $100x + 10z + y$. Según el enunciado, este es igual a $N + 36$: $$100x + 10z + y = (100x + 10y + z) + 36$$ Simplificamos restando $100x$ en ambos lados y agrupando términos: $$10z + y - 10y - z = 36 \implies -9y + 9z = 36$$ Dividiendo entre $9$ para simplificar: $$-y + z = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un número de tres cifras se descompone de forma polinómica como $100c + 10d + u$, donde $c, d, u$ son las cifras. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 9 \\ x - z = 1 \\ -y + z = 4 \end{cases}}$$

**b) [1 p.] Calcule el número en cuestión.** Resolvemos el sistema obtenido en el apartado anterior: $$\begin{cases} (1) \quad x + y + z = 9 \\ (2) \quad x - z = 1 \\ (3) \quad -y + z = 4 \end{cases}$$ Podemos expresar $x$ e $y$ en función de $z$ usando las ecuaciones (2) y (3): - De (2): $x = z + 1$ - De (3): $y = z - 4$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación (1): $$(z + 1) + (z - 4) + z = 9$$ $$3z - 3 = 9$$ $$3z = 12 \implies z = 4$$ 💡 **Tip:** Al tener ecuaciones donde las incógnitas están casi despejadas unas respecto a otras, el método de sustitución suele ser el más rápido. Ahora calculamos $x$ e $y$: $$x = 4 + 1 = 5$$ $$y = 4 - 4 = 0$$ Las cifras son $x=5$, $y=0$, $z=4$. $$\boxed{x = 5, \quad y = 0, \quad z = 4}$$

Una vez halladas las cifras, formamos el número solicitado siguiendo el orden de centenas ($x$), decenas ($y$) y unidades ($z$): El número es **504**. **Comprobación:** i) $5 + 0 + 4 = 9$ (Correcto). ii) Permutar centenas y unidades: $405$. ¿$504 - 99 = 405$? Sí (Correcto). iii) Permutar decenas y unidades: $540$. ¿$504 + 36 = 540$? Sí (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{504}$$