Distribución Binomial y aproximación a la Normal

**a) [0,5 p.] Qué distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale cara.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de caras obtenidas en $n = 100$ lanzamientos independientes. Cada lanzamiento es un experimento de Bernoulli con dos posibles resultados: - Éxito ($S$): Sale cara, con probabilidad $p = P( ext{cara}) = 0.5$. - Fracaso ($F$): Sale cruz, con probabilidad $q = 1 - p = 0.5$. Como el número de lanzamientos es fijo ($n=100$), los lanzamientos son independientes y la probabilidad de éxito es constante, la variable $X$ sigue una **distribución binomial**. $$\boxed{X \sim B(100, \, 0.5)}$$

**b) [0,5 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.** Para una distribución binomial $B(n, p)$, los parámetros estadísticos se calculan mediante las siguientes fórmulas: 1. **Media (esperanza matemática):** $$\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0.5 = 50$$ 2. **Desviación típica:** $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{25} = 5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $q = 1 - p$. En este caso, al ser una moneda equilibrada, la media coincide con el valor más intuitivo: la mitad de los lanzamientos. ✅ **Resultados:** $$\boxed{\mu = 50, \quad \sigma = 5}$$

**c) [0,5 p.] Cuál es la probabilidad de que salga cara 60 veces.** Debemos calcular $P(X = 60)$. Usamos la fórmula de la probabilidad para una distribución binomial: $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$ Para $k = 60$: $$P(X = 60) = \binom{100}{60} (0.5)^{60} (0.5)^{40} = \binom{100}{60} (0.5)^{100}$$ Calculando el valor (usualmente con calculadora científica para valores tan grandes de $n$): $$P(X = 60) \approx 0.0108$$ 💡 **Tip:** Si no dispones de una calculadora que gestione combinatorias tan grandes, este apartado también podría aproximarse mediante la Normal, calculando $P(59.5 \le Y \le 60.5)$. Sin embargo, al pedir un valor puntual exacto en una binomial, se prefiere la fórmula directa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 60) = 0.0108}$$

**d) [1 p.] Cuál es la probabilidad de que el número de veces que sale cara sea mayor o igual que 55.** Para calcular $P(X \ge 55)$ con $n=100$, sumar las probabilidades desde $k=55$ hasta $k=100$ es inviable manualmente. Comprobamos si podemos aproximar por una distribución Normal $N(\mu, \sigma)$: - $n \cdot p = 100 \cdot 0.5 = 50 \gt 5$ - $n \cdot q = 100 \cdot 0.5 = 50 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, aproximamos $X \sim B(100, 0.5)$ por una variable continua $Y \sim N(50, 5)$.

Para pasar de una variable discreta ($X$) a una continua ($Y$), aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X \ge 55) \approx P(Y \ge 54.5)$$ Ahora, tipificamos la variable para poder usar la tabla de la Normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando $Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}$: $$P(Y \ge 54.5) = P\left( Z \ge \frac{54.5 - 50}{5} \right) = P\left( Z \ge \frac{4.5}{5} \right) = P(Z \ge 0.9)$$ 💡 **Tip:** Al pasar de discreta a continua, el valor "mayor o igual que 55" incluye la barra del 55, por lo que en la continua debemos empezar en $54.5$ para abarcar todo el rectángulo de probabilidad del 55.

Calculamos la probabilidad usando las propiedades de la simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \ge 0.9) = 1 - P(Z \lt 0.9)$$ Buscamos en la tabla de la $N(0, 1)$ el valor para $0.90$: $$P(Z \lt 0.9) = 0.8159$$ Por tanto: $$P(X \ge 55) \approx 1 - 0.8159 = 0.1841$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 55) \approx 0.1841}$$