Probabilidad y Estadística 2023 Murcia
Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Extracción en dos urnas
7: Dos urnas A y B contienen bolas de colores con la siguiente composición: La urna A contiene 3 bolas verdes, 3 bolas rojas y 4 bolas negras, y la urna B contiene 1 bola verde, 3 bolas rojas y 5 bolas negras. Se saca al azar una bola de la urna A y se mete en la urna B. A continuación, se saca al azar una bola de la urna B. Calcule:
a) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea negra, sabiendo que la bola que se sacó de la urna A era verde.
b) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea negra.
c) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se sacó de la urna A fuera verde, sabiendo que la bola se ha sacado de la urna B ha sido negra.
Paso 1
Definir sucesos y diagrama de árbol
**a) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea negra, sabiendo que la bola que se sacó de la urna A era verde.**
Primero, definimos los sucesos para la extracción de la urna A y la urna B:
- $V_A, R_A, N_A$: Sacar bola Verde, Roja o Negra de la urna A.
- $V_B, R_B, N_B$: Sacar bola Verde, Roja o Negra de la urna B.
Composición inicial:
- Urna A: $3V, 3R, 4N$ (Total = 10).
- Urna B: $1V, 3R, 5N$ (Total = 9).
Al pasar una bola de A a B, la urna B pasará a tener **10 bolas**. Representamos el experimento mediante un árbol de probabilidad:
💡 **Tip:** En experimentos compuestos, el diagrama de árbol ayuda a visualizar cómo cambian las probabilidades en la segunda etapa según lo ocurrido en la primera.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad condicionada (apartado a)
Para calcular $P(N_B | V_A)$, analizamos la composición de la urna B tras meter una bola verde proveniente de A:
- Composición inicial de B: $1V, 3R, 5N$.
- Si entra una verde ($V_A$), la composición nueva de B es: $2V, 3R, 5N$.
- Total de bolas en B = $2 + 3 + 5 = 10$.
La probabilidad de sacar negra de B en este caso es:
$$P(N_B | V_A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} = \frac{5}{10} = 0,5$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(N_B | V_A) = 0,5}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad total (apartado b)
**b) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea negra.**
Para hallar la probabilidad total de sacar una bola negra de B, $P(N_B)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total** considerando todas las opciones de la bola extraída de A:
$$P(N_B) = P(V_A) \cdot P(N_B|V_A) + P(R_A) \cdot P(N_B|R_A) + P(N_A) \cdot P(N_B|N_A)$$
Calculamos cada término:
- $P(V_A) = 3/10$; $P(N_B|V_A) = 5/10$ (B tiene 2V, 3R, 5N).
- $P(R_A) = 3/10$; $P(N_B|R_A) = 5/10$ (B tiene 1V, 4R, 5N).
- $P(N_A) = 4/10$; $P(N_B|N_A) = 6/10$ (B tiene 1V, 3R, 6N).
Sustituimos:
$$P(N_B) = \left(\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{10}\right) + \left(\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{10}\right) + \left(\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{10}\right)$$
$$P(N_B) = \frac{15}{100} + \frac{15}{100} + \frac{24}{100} = \frac{54}{100} = 0,54$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total suma los "caminos" del árbol que terminan en el suceso deseado.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(N_B) = 0,54}$$
Paso 4
Aplicación del Teorema de Bayes (apartado c)
**c) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se sacó de la urna A fuera verde, sabiendo que la bola se ha sacado de la urna B ha sido negra.**
Se nos pide la probabilidad a posteriori $P(V_A | N_B)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(V_A | N_B) = \frac{P(V_A \cap N_B)}{P(N_B)} = \frac{P(V_A) \cdot P(N_B | V_A)}{P(N_B)}$$
Utilizamos los valores obtenidos en los apartados anteriores:
- $P(V_A \cap N_B) = P(V_A) \cdot P(N_B | V_A) = \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{10} = 0,15$.
- $P(N_B) = 0,54$ (calculado en el apartado b).
Sustituimos:
$$P(V_A | N_B) = \frac{0,15}{0,54} = \frac{15}{54}$$
Simplificamos la fracción dividiendo entre 3:
$$P(V_A | N_B) = \frac{5}{18} \approx 0,2778$$
💡 **Tip:** Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada cuando ya conocemos el resultado final.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(V_A | N_B) = \frac{5}{18} \approx 0,2778}$$