Posición relativa y distancias: recta y plano

**a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ en función del parámetro $a$.** Primero, identificamos el vector normal del plano $\pi$ y un punto y vector director de la recta $r$. Para el plano $\pi: 3x - y - 2z - 5 = 0$, el vector normal es: $$\vec{n}_\pi = (3, -1, -2)$$ Para la recta $r$ en forma continua $\frac{x-a}{1} = \frac{y-(3-a)}{1} = \frac{z-0}{1}$, obtenemos: - Vector director: $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ - Punto genérico de la recta: $A_r = (a, 3-a, 0)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para estudiar la posición relativa, comprobamos si el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano (lo que indicaría que la recta es paralela o está contenida en el plano). Calculamos el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (1, 1, 1) \cdot (3, -1, -2) = 1(3) + 1(-1) + 1(-2) = 3 - 1 - 2 = 0$$ Como el producto escalar es **cero**, el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano. Esto significa que la recta $r$ es **paralela** al plano o está **contenida** en él para cualquier valor de $a$.

La recta estará contenida en el plano si el punto $A_r(a, 3-a, 0)$ pertenece a $\pi$. Sustituimos el punto en la ecuación del plano: $$3(a) - (3-a) - 2(0) = 5$$ $$3a - 3 + a = 5$$ $$4a = 8 \implies a = 2$$ Concluimos la posición relativa: - Si **$a = 2$**: El punto $A_r$ pertenece al plano, por lo que la recta **$r$ está contenida en el plano $\pi$**. - Si **$a \neq 2$**: El punto $A_r$ no pertenece al plano, por lo que la recta **$r$ es paralela al plano $\pi$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a=2, r \subset \pi. \text{ Si } a \neq 2, r \parallel \pi.}$$

**b) [0,75 p.] Calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$ para $a=0$.** Si $a=0$, la recta es paralela al plano. La distancia de una recta paralela a un plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Para $a=0$, el punto de la recta es $A_r(0, 3, 0)$ y el plano es $\pi: 3x - y - 2z - 5 = 0$. Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(r, \pi) = d(A_r, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|3(0) - 1(3) - 2(0) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \frac{|-3 - 5|}{\sqrt{9 + 1 + 4}} = \frac{8}{\sqrt{14}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{8\sqrt{14}}{14} = \frac{4\sqrt{14}}{7} \approx 2,138 \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la recta fuera secante, la distancia sería 0. Al ser paralela, calculamos la distancia de un punto cualquiera. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{4\sqrt{14}}{7}}$$

**c) [0,5 p.] Calcule la ecuación general del plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo al plano $\pi$ para $a=0$.** Buscamos un plano $\pi'$ tal que: 1. Sea paralelo a $\pi$. Esto implica que tienen el mismo vector normal: $\vec{n}_{\pi'} = (3, -1, -2)$. 2. Contenga a la recta $r$ (para $a=0$), por lo que debe pasar por el punto $A_r(0, 3, 0)$. La ecuación de un plano paralelo a $3x - y - 2z - 5 = 0$ será de la forma: $$3x - y - 2z + D = 0$$ Sustituimos el punto $A_r(0, 3, 0)$ para hallar $D$: $$3(0) - 1(3) - 2(0) + D = 0 \implies -3 + D = 0 \implies D = 3$$ La ecuación general del plano es: $$3x - y - 2z + 3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x - y - 2z + 3 = 0}$$