Rectas paralelas, proyección ortogonal y distancia en el espacio

**a) [1 p.] Compruebe que ambas rectas son paralelas.** Para comprobar si las rectas son paralelas, primero debemos obtener sus vectores directores. Para la recta $s$, que está expresada en forma continua, el vector director $\vec{v}_s$ se lee directamente de los denominadores: $$\vec{v}_s = (2, 1, -1)$$ Para la recta $r$, dada como intersección de dos planos, el vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos $\vec{n}_1 = (1, -2, 0)$ y $\vec{n}_2 = (0, 1, 1)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = [(-2) \cdot 1]\vec{i} + [0 \cdot 0]\vec{j} + [1 \cdot 1]\vec{k} - [0 \cdot (-2)]\vec{k} - [1 \cdot 0]\vec{i} - [1 \cdot 1]\vec{j}$$ $$\vec{v}_r = -2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k} = (-2, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales. Observamos la relación entre $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$: $$\vec{v}_r = (-2, -1, 1) = -1 \cdot (2, 1, -1) = -1 \cdot \vec{v}_s$$ Como existe una constante $k = -1$ tal que $\vec{v}_r = k \vec{v}_s$, los vectores son paralelos. Para asegurar que no son la misma recta (coincidentes), tomamos un punto de $r$, por ejemplo $Q_r(5, 0, 0)$ (haciendo $y=0$ en las ecuaciones de $r$) y comprobamos si pertenece a $s$: $$\frac{5-8}{2} = \frac{0+3}{1} = \frac{0-3}{-1} \implies -1.5 = 3 = 3$$ Como $-1.5 \neq 3$, el punto $Q_r$ no pertenece a $s$. Por tanto, las rectas son **paralelas y distintas**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas porque } \vec{v}_r \parallel \vec{v}_s \text{ y } r \cap s = \emptyset}$$

**b) [1 p.] Compruebe que el punto $P = (7,1,-1)$ está en la recta $r$ y calcule su proyección ortogonal sobre la recta $s$.** Sustituimos las coordenadas de $P(7, 1, -1)$ en las ecuaciones implícitas de la recta $r$: 1. $x - 2y = 5 \implies 7 - 2(1) = 7 - 2 = 5$ (Se cumple). 2. $y + z = 0 \implies 1 + (-1) = 1 - 1 = 0$ (Se cumple). Como el punto satisface ambas ecuaciones simultáneamente, **$P$ pertenece a la recta $r$**. 💡 **Tip:** Un punto pertenece a una recta si al sustituir sus coordenadas en la ecuación de la recta, se verifican las igualdades.

Para calcular la proyección ortogonal $P'$ de $P$ sobre la recta $s$, utilizaremos un plano auxiliar $\pi$ que sea perpendicular a $s$ y contenga a $P$. El vector normal del plano $\pi$ será el vector director de la recta $s$: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_s = (2, 1, -1)$$ La ecuación del plano será de la forma $2x + y - z + D = 0$. Imponemos que pase por $P(7, 1, -1)$: $$2(7) + 1 - (-1) + D = 0 \implies 14 + 1 + 1 + D = 0 \implies 16 + D = 0 \implies D = -16$$ El plano perpendicular es: $$\pi : 2x + y - z - 16 = 0$$

La proyección $P'$ es el punto de intersección entre la recta $s$ y el plano $\pi$. Expresamos $s$ en forma paramétrica: $$s: \begin{cases} x = 8 + 2\lambda \\ y = -3 + \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$$ Sustituimos en la ecuación del plano $\pi$: $$2(8 + 2\lambda) + (-3 + \lambda) - (3 - \lambda) - 16 = 0$$ $$16 + 4\lambda - 3 + \lambda - 3 + \lambda - 16 = 0$$ $$6\lambda - 6 = 0 \implies \lambda = 1$$ Calculamos las coordenadas de $P'$ sustituyendo $\lambda = 1$ en $s$: $$x = 8 + 2(1) = 10$$ $$y = -3 + 1 = -2$$ $$z = 3 - 1 = 2$$ ✅ **Resultado (Proyección):** $$\boxed{P' = (10, -2, 2)}$$

**c) [0,5 p.] Calcule la distancia entre ambas rectas.** Dado que las rectas $r$ y $s$ son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de cualquier punto de $r$ a la recta $s$. Ya conocemos el punto $P(7, 1, -1) \in r$ y su proyección ortogonal $P'(10, -2, 2) \in s$. Por definición de proyección ortogonal, la distancia de $P$ a $s$ es el módulo del vector $\vec{PP'}$: $$\vec{PP'} = P' - P = (10 - 7, -2 - 1, 2 - (-1)) = (3, -3, 3)$$ Calculamos el módulo: $$d(r, s) = |\vec{PP'}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27}$$ $$d(r, s) = 3\sqrt{3} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** En rectas paralelas, la distancia se reduce a calcular la distancia de un punto a una recta, lo cual es equivalente a la distancia entre el punto y su proyección. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, s) = 3\sqrt{3} \approx 5,196}$$