Estudio de función racional, derivadas e integración

**a) [0,5 p.] Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$** Para calcular el límite de una función racional cuando $x \to +\infty$, observamos los grados de los polinomios del numerador y del denominador. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{1+x^2} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Como ambos son del mismo grado (grado 2), el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 \cdot x^2}{1 \cdot x^2 + 1} = \frac{1}{1} = 1.$$ 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado. Esto indica que hay una asíntota horizontal en $y=1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1}$$

**b) [0,5 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f(x)$.** Calculamos $f'(x)$ aplicando la regla de la derivada de un cociente: $$f(x) = \frac{u}{v} \implies f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Definimos: - $u = x^2 \implies u' = 2x$ - $v = 1+x^2 \implies v' = 2x$ Sustituimos: $$f'(x) = \frac{2x(1+x^2) - x^2(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2x + 2x^3 - 2x^3}{(1+x^2)^2} = \frac{2x}{(1+x^2)^2}.$$ ✅ **Derivada:** $$\boxed{f'(x) = \frac{2x}{(1+x^2)^2}}$$

Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \frac{2x}{(1+x^2)^2} = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0.$$ Como el denominador $(1+x^2)^2$ siempre es positivo para cualquier $x \in \mathbb{R}$, el signo de $f'(x)$ depende únicamente del numerador $2x$. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f(x)$ es **decreciente**. - En $(0, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f(x)$ es **creciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, 0) \text{ y Creciente en } (0, +\infty)}$$

**c) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.** Queremos calcular $I = \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$. Como el grado del numerador es igual al del denominador, realizamos una manipulación algebraica sencilla (sumar y restar 1) o dividimos los polinomios: $$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{x^2 + 1 - 1}{1+x^2} = \frac{1+x^2}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}.$$ Ahora integramos término a término: $$I = \int \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{1+x^2} dx.$$ Las integrales son inmediatas: $$I = x - \arctan(x) + C.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $\frac{1}{1+x^2}$ es la función arco tangente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = x - \arctan(x) + C}$$

**d) [0,5 p.] Determine la primitiva de $f(x)$ que pasa por el punto $(1,1)$.** Buscamos la función $F(x) = x - \arctan(x) + C$ tal que $F(1) = 1$. Sustituimos el punto $(1,1)$: $$1 = 1 - \arctan(1) + C.$$ Sabemos que $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ rad (ya que $\tan(\pi/4) = 1$): $$1 = 1 - \frac{\pi}{4} + C.$$ Despejamos $C$: $$C = \frac{\pi}{4}.$$ La primitiva buscada es: $$F(x) = x - \arctan(x) + \frac{\pi}{4}.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = x - \arctan(x) + \dfrac{\pi}{4}}$$