Cálculo de límites mediante la regla de L'Hôpital

**a) [1,25 p.] $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)-1}{x \text{ sen}(x)}$.** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)-1}{x \text{ sen}(x)} = \frac{\cos(0)-1}{0 \cdot \text{sen}(0)} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$0/0$**. Como las funciones del numerador y denominador son derivables en un entorno de $x=0$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital nos permite resolver límites de la forma $0/0$ o $\infty/\infty$ derivando el numerador y el denominador por separado.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $[\cos(2x)-1]' = -\text{sen}(2x) \cdot 2 = -2\text{sen}(2x)$. - Derivada del denominador: $[x \text{ sen}(x)]' = 1 \cdot \text{sen}(x) + x \cdot \cos(x) = \text{sen}(x) + x\cos(x)$. Por tanto: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)-1}{x \text{ sen}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\text{sen}(2x)}{\text{sen}(x) + x\cos(x)}$$ Evaluamos de nuevo el límite en $x=0$: $$\frac{-2\text{sen}(0)}{\text{sen}(0) + 0 \cdot \cos(0)} = \frac{0}{0}$$ Sigue apareciendo la indeterminación **$0/0$**, por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos de nuevo numerador y denominador: - Derivada del numerador: $[-2\text{sen}(2x)]' = -2 \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -4\cos(2x)$. - Derivada del denominador: $[\text{sen}(x) + x\cos(x)]' = \cos(x) + 1 \cdot \cos(x) + x(-\text{sen}(x)) = 2\cos(x) - x\text{sen}(x)$. El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{-4\cos(2x)}{2\cos(x) - x\text{sen}(x)} = \frac{-4\cos(0)}{2\cos(0) - 0 \cdot \text{sen}(0)} = \frac{-4(1)}{2(1) - 0} = \frac{-4}{2} = -2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-2}$$

**b) [1,25 p.] $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9+x} - \sqrt{9-x}}{3x}$.** Evaluamos el límite en $x=0$ para identificar la indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9+x} - \sqrt{9-x}}{3x} = \frac{\sqrt{9+0} - \sqrt{9-0}}{3(0)} = \frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0}$$ Presenta una indeterminación de tipo **$0/0$**. Procederemos a resolverlo aplicando la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Aunque este límite también podría resolverse multiplicando por el conjugado, la regla de L'Hôpital suele ser más directa si dominas la derivada de la función raíz: $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Derivamos el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $\left(\sqrt{9+x} - \sqrt{9-x}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{9+x}} - \frac{-1}{2\sqrt{9-x}} = \frac{1}{2\sqrt{9+x}} + \frac{1}{2\sqrt{9-x}}$. - Derivada del denominador: $(3x)' = 3$. Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9+x} - \sqrt{9-x}}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{9+x}} + \frac{1}{2\sqrt{9-x}}}{3}$$ Ahora evaluamos el límite sustituyendo $x=0$: $$\frac{\frac{1}{2\sqrt{9+0}} + \frac{1}{2\sqrt{9-0}}}{3} = \frac{\frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3}}{3} = \frac{\frac{1}{6} + \frac{1}{6}}{3} = \frac{\frac{2}{6}}{3} = \frac{\frac{1}{3}}{3} = \frac{1}{9}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{1}{9}}$$