Invertibilidad de matrices y ecuaciones matriciales

**a) [0,5 p.] Determine para qué valores del parámetro $a$ la matriz $A$ es regular (o invertible).** Una matriz cuadrada es regular o invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de la matriz $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} a & a \\ -1 & a \end{vmatrix} = (a \cdot a) - (a \cdot (-1)) = a^2 + a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para matrices $2 \times 2$, el determinante se calcula como el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria. Para que la matriz sea regular: $$|A| \neq 0 \implies a^2 + a \neq 0$$ Resolvemos la ecuación $a^2 + a = 0$ factorizando: $$a(a + 1) = 0 \implies a = 0, \; a = -1$$ Por tanto, la matriz $A$ es regular para cualquier valor de $a$ distinto de $0$ y $-1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1\}}$$

**b) [1 p.] Calcule la inversa de $A$ y compruebe que $A \cdot A^{-1} = I$, con $I$ la matriz identidad de orden 2.** Sustituimos $a = -2$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|A| = (-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2$$ Para hallar $A^{-1}$ usamos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^\top$. 1. **Matriz de adjuntos:** - $A_{11} = +(-2) = -2$ - $A_{12} = -(-1) = 1$ - $A_{21} = -(-2) = 2$ - $A_{22} = +(-2) = -2$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$ 2. **Traspuesta de la adjunta:** $$(Adj(A))^\top = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ 3. **Inversa:** $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1/2 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** También puedes dejar la fracción fuera: $A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0.5 & -1 \end{pmatrix}$ para facilitar cálculos posteriores.

Verificamos que $A \cdot A^{-1} = I$ realizando el producto de matrices: $$A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1/2 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos elemento a elemento: - $c_{11} = (-2)(-1) + (-2)(1/2) = 2 - 1 = 1$ - $c_{12} = (-2)(1) + (-2)(-1) = -2 + 2 = 0$ - $c_{21} = (-1)(-1) + (-2)(1/2) = 1 - 1 = 0$ - $c_{22} = (-1)(1) + (-2)(-1) = -1 + 2 = 1$ $$A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1/2 & -1 \end{pmatrix}}$$

**c) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $AXA^{-1} + B = C^\top$, donde $C^\top$ denota la matriz traspuesta de $C$.** Primero aislamos el término que contiene a $X$: $$AXA^{-1} = C^\top - B$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $A$: $$A^{-1} (AXA^{-1}) A = A^{-1} (C^\top - B) A$$ Como $A^{-1}A = I$ y $A^{-1}A = I$, tenemos: $$IXI = A^{-1} (C^\top - B) A \implies X = A^{-1} (C^\top - B) A$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Calculamos la traspuesta de $C$: $$C = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \implies C^\top = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos la diferencia $D = C^\top - B$: $$D = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - (-1) & -2 - (-4) \\ -6 - 2 & 3 - 3 \end{pmatrix}$$ $$D = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -8 & 0 \end{pmatrix}$$

Ahora sustituimos en $X = A^{-1} D A$: Primero calculamos $A^{-1} D$: $$A^{-1} D = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1/2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -8 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 - 8 & -2 + 0 \\ 3 + 8 & 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 & -2 \\ 11 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente multiplicamos por $A$: $$X = \begin{pmatrix} -14 & -2 \\ 11 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (-14)(-2) + (-2)(-1) & (-14)(-2) + (-2)(-2) \\ (11)(-2) + (1)(-1) & (11)(-2) + (1)(-2) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 28 + 2 & 28 + 4 \\ -22 - 1 & -22 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 & 32 \\ -23 & -24 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 30 & 32 \\ -23 & -24 \end{pmatrix}}$$