Sistema de ecuaciones: Precios de artículos de papelería

**a) [0,75 p.] Denotando por $x$ el precio de cada bolígrafo, por $y$ el de cada rotulador y por $z$ el de cada libreta, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente los datos del ejercicio.** Traducimos las condiciones del enunciado al lenguaje algebraico: 1. "Una libreta ($z$) cuesta el doble que un bolígrafo ($x$) y un rotulador ($y$) juntos": $$z = 2(x + y) \implies 2x + 2y - z = 0$$ 2. "Un bolígrafo ($x$) cuesta la sexta parte que una libreta ($z$)": $$x = \frac{z}{6} \implies 6x - z = 0$$ 3. "Un rotulador ($y$) cuesta el doble que un bolígrafo ($x$)": $$y = 2x \implies 2x - y = 0$$ El sistema de ecuaciones resultante es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} 2x + 2y - z = 0 \\ 6x - z = 0 \\ 2x - y = 0 \end{cases}}$$

**b) [0,25 p.] Justifique que, con estos datos, no se puede conocer el precio de cada uno de los tres productos.** Para saber si el sistema tiene una solución única, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 6 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante por la regla de Sarrus: $$|A| = (2 \cdot 0 \cdot 0) + (2 \cdot (-1) \cdot 2) + ((-1) \cdot 6 \cdot (-1)) - [(-1 \cdot 0 \cdot 2) + (2 \cdot 6 \cdot 0) + (2 \cdot (-1) \cdot (-1))]$$ $$|A| = (0 - 4 + 6) - (0 + 0 + 2) = 2 - 2 = 0$$ Como $|A| = 0$, el rango de $A$ es menor que 3. Al ser un sistema homogéneo (todos los términos independientes son 0), el sistema es **Compatible Indeterminado** (SCI) por el Teorema de Rouché-Frobenius, ya que: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) \lt n=3$$ Como existen **infinitas soluciones**, no se puede determinar un único precio para los productos. 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema homogéneo siempre es compatible; si el determinante es cero, tiene infinitas soluciones además de la solución trivial $(0,0,0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)}}$$

**c) [1 p.] Calcule el conjunto de todas las posibles soluciones del sistema.** Como el determinante es 0, buscamos un menor de orden 2 distinto de cero para confirmar el rango. Por ejemplo: $$\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -6 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Podemos prescindir de la primera ecuación (que es combinación lineal de las otras) y resolver en función de un parámetro. Usamos las ecuaciones 2 y 3: 1. $2x - y = 0 \implies y = 2x$ 2. $6x - z = 0 \implies z = 6x$ Sea $x = \lambda$, donde $\lambda \in \mathbb{R}$ (en el contexto del problema $\lambda \gt 0$). El conjunto de soluciones es: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = 6\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 2\lambda, 6\lambda) \text{ para } \lambda \in \mathbb{R}^+}$$

**d) [0,5 p.] Sabiendo que una libreta cuesta 18 euros, calcule el precio de cada producto.** Utilizamos la solución general hallada en el apartado anterior, donde $z$ es el precio de la libreta: $$z = 6\lambda$$ Si $z = 18$: $$18 = 6\lambda \implies \lambda = \frac{18}{6} = 3$$ Ahora calculamos el resto de precios sustituyendo $\lambda = 3$: - Precio del bolígrafo ($x$): $x = \lambda = 3$ €. - Precio del rotulador ($y$): $y = 2\lambda = 2(3) = 6$ €. Comprobamos en la primera ecuación del enunciado: $z = 2(x+y) \implies 18 = 2(3+6) = 2(9) = 18$. Se cumple. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Bolígrafo: } 3\text{ €, Rotulador: } 6\text{ €, Libreta: } 18\text{ €}}$$