Cálculo de la desviación típica y probabilidades en una Normal

**(a) [4 puntos] ¿Cuál es la desviación típica?** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el peso de un bebé en kg. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(3.1, \sigma)$$ Sabemos que el 30.5% de los bebés pesa más de 3.8 kg, lo que se traduce en la siguiente probabilidad: $$P(X \gt 3.8) = 0.305$$ Para trabajar con la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$, debemos tipificar la variable utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \gt \frac{3.8 - 3.1}{\sigma}\right) = 0.305$$ $$P\left(Z \gt \frac{0.7}{\sigma}\right) = 0.305$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para tipificar restamos la media y dividimos por la desviación típica: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.

Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer la probabilidad acumulada $P(Z \le z)$, transformamos nuestra expresión: $$1 - P\left(Z \le \frac{0.7}{\sigma}\right) = 0.305$$ $$P\left(Z \le \frac{0.7}{\sigma}\right) = 1 - 0.305 = 0.695$$ Buscamos el valor $0.695$ en el interior de la tabla de la normal $N(0, 1)$. Encontramos que corresponde exactamente a $z = 0.51$. Por tanto: $$\frac{0.7}{\sigma} = 0.51$$ Despejamos $\sigma$: $$\sigma = \frac{0.7}{0.51} \approx 1.372549...$$ Redondeando a 4 decimales como pide el enunciado: $$\boxed{\sigma = 1.3725}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, toma el más cercano o realiza una interpolación lineal.

**(b) [3 puntos] Suponiendo que $\sigma = 1.3725$, ¿cuál es la probabilidad de que un bebé pese menos de 2.7 kg?** Ahora tenemos $X \sim N(3.1, 1.3725)$. Queremos calcular $P(X \lt 2.7)$. Tipificamos de nuevo: $$P(X \lt 2.7) = P\left(Z \lt \frac{2.7 - 3.1}{1.3725}\right) = P\left(Z \lt \frac{-0.4}{1.3725}\right)$$ $$P(Z \lt -0.2914)$$ Por la simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \lt -0.2914) = P(Z \gt 0.2914) = 1 - P(Z \le 0.2914)$$ Mirando en la tabla para $z = 0.29$ (obtenemos $0.6141$) y $z = 0.30$ (obtenemos $0.6179$). Interpolando para $0.2914$: $$P(Z \le 0.2914) \approx 0.6146$$ Calculamos el resultado final: $$P(X \lt 2.7) = 1 - 0.6146 = 0.3854$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 2.7) = 0.3854}$$

**(c) [3 puntos] Suponiendo que $\sigma = 1.3725$, ¿cuál es la probabilidad de que un bebé pese entre 2.7 y 3.5 kg?** Buscamos $P(2.7 \lt X \lt 3.5)$. Esto se calcula como: $$P(2.7 \lt X \lt 3.5) = P(X \lt 3.5) - P(X \lt 2.7)$$ Ya conocemos $P(X \lt 2.7) = 0.3854$ del apartado anterior. Calculamos $P(X \lt 3.5)$ tipificando: $$P(X \lt 3.5) = P\left(Z \lt \frac{3.5 - 3.1}{1.3725}\right) = P\left(Z \lt \frac{0.4}{1.3725}\right) = P(Z \lt 0.2914)$$ Como vimos antes, $P(Z \le 0.2914) \approx 0.6146$. Sustituimos en la resta: $$P(2.7 \lt X \lt 3.5) = 0.6146 - 0.3854 = 0.2292$$ 💡 **Tip:** Para cualquier intervalo $[a, b]$, la probabilidad es $P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(2.7 \lt X \lt 3.5) = 0.2292}$$