Probabilidad condicionada e independencia de sucesos

Antes de comenzar con el primer apartado, debemos obtener la probabilidad del suceso $A$ a partir de su complementario $A^c$. Sabemos que $P(A) + P(A^c) = 1$, por lo tanto: $$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 0.4 = 0.6$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de un suceso es siempre $1$ menos la probabilidad de su suceso contrario o complementario.

**(a) [2 puntos] $P(B/A)$.** Para calcular la probabilidad de $B$ condicionada a $A$, utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$ Sustituimos los valores conocidos ($P(A \cap B) = 0.3$ y $P(A) = 0.6$): $$P(B/A) = \frac{0.3}{0.6} = 0.5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B/A) = 0.5}$$

**(b) [3 puntos] $P(B)$.** El enunciado nos indica que $P(A/B) = P(B/A)$. Por el apartado anterior, sabemos que: $$P(A/B) = 0.5$$ Utilizamos de nuevo la fórmula de la probabilidad condicionada, esta vez para $P(A/B)$: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Despejamos $P(B)$ de la ecuación: $$0.5 = \frac{0.3}{P(B)} \implies P(B) = \frac{0.3}{0.5} = 0.6$$ 💡 **Tip:** Si las probabilidades condicionadas $P(A/B)$ y $P(B/A)$ son iguales, y la intersección es común, entonces $P(A)$ debe ser igual a $P(B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = 0.6}$$

**(c) [3 puntos] $P(A^c \cap B^c)$.** Para calcular la probabilidad de la intersección de los complementarios, primero necesitamos hallar la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$. Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(A \cup B) = 0.6 + 0.6 - 0.3 = 0.9$$

Ahora aplicamos la **Primera Ley de De Morgan**, que establece que la intersección de los complementarios es el complementario de la unión: $$A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$$ Por tanto: $$P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)$$ $$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.9 = 0.1$$ 💡 **Tip:** Recuerda las Leyes de De Morgan: 1. $P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$ 2. $P(A^c \cup B^c) = P((A \cap B)^c) = 1 - P(A \cap B)$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A^c \cap B^c) = 0.1}$$

**(d) [2 puntos] ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes?** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades individuales: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades: $$P(A) \cdot P(B) = 0.6 \cdot 0.6 = 0.36$$ Comparamos con el valor dado de la intersección: $$P(A \cap B) = 0.3$$ Como $0.3 \neq 0.36$, concluimos que los sucesos no cumplen la condición de independencia. 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo es ver si $P(B/A) = P(B)$. En este caso $0.5 \neq 0.6$, lo que confirma que son dependientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes porque } P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)}$$