Área de una región plana

Para representar la región y calcular el área, primero debemos comprobar si la función $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ corta al eje de abscisas ($y=0$) en el intervalo $(0, 7)$. Igualamos la función a cero: $$\frac{2x}{x^2 + 1} = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0.$$ Como el único punto de corte es el extremo inferior del intervalo ($x=0$), la función no cambia de signo dentro del intervalo $(0, 7)$. Estudiamos el signo en dicho intervalo tomando un valor de prueba, por ejemplo $x=1$: $$f(1) = \frac{2(1)}{1^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1 > 0.$$ La función es **positiva** en todo el intervalo $(0, 7)$, por lo que la región está siempre por encima del eje $OX$. 💡 **Tip:** Si una función cambia de signo en el intervalo de integración, debemos dividir la integral en varios recintos y usar valores absolutos para que las áreas negativas no resten.

El área $A$ de la región delimitada por la función, el eje $OX$ y las rectas verticales $x=0$ y $x=7$ se define mediante la integral: $$A = \int_{0}^{7} \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$$ Observamos que el numerador, $2x$, es exactamente la derivada del denominador, $x^2 + 1$. Por lo tanto, estamos ante una integral de tipo logarítmico: $$\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C$$ En nuestro caso: $$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \ln(x^2 + 1)$$ No es necesario el valor absoluto ya que $x^2+1$ siempre es positivo para cualquier $x \in \mathbb{R}$. ✅ **Integral indefinida:** $$\boxed{\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \ln(x^2 + 1) + C}$$

Aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida en los límites de integración $[0, 7]$: $$A = \left[ \ln(x^2 + 1) \right]_{0}^{7}$$ Calculamos los valores en los extremos: 1. Para $x=7$: $\ln(7^2 + 1) = \ln(49 + 1) = \ln(50)$ 2. Para $x=0$: $\ln(0^2 + 1) = \ln(1) = 0$ Restamos los resultados: $$A = \ln(50) - \ln(1) = \ln(50) - 0 = \ln(50)$$ Si queremos una aproximación decimal: $$\ln(50) \approx 3,912 \text{ unidades cuadradas}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(1) = 0$. Es un paso muy común en ejercicios de áreas con logaritmos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \ln(50) \text{ u}^2}$$