Estudio de la infección de agua por bacterias

**(a) [4 puntos] ¿Cuántas toneladas de agua había inicialmente infectadas por la bacteria? ¿Hacia qué valor tiende la cantidad de agua infectada? Interpreta los resultados.** La cantidad inicial corresponde al momento en que el tiempo es cero ($x=0$). Sustituimos este valor en la función $f(x)$: $$f(0) = e^{-0} + 0.15(0) + 1$$ Como $e^0 = 1$: $$f(0) = 1 + 0 + 1 = 2$$ 💡 **Tip:** El valor inicial de cualquier magnitud que dependa del tiempo $x$ siempre se halla calculando la imagen para $x=0$, es decir, $f(0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Inicialmente había 2 toneladas de agua infectada.}}$$

Para saber hacia qué valor tiende la cantidad de agua infectada cuando el tiempo transcurre indefinidamente, calculamos el límite de la función cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (e^{-x} + 0.15x + 1)$$ Analizamos cada término por separado: 1. $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0$ 2. $\lim_{x \to +\infty} 0.15x = +\infty$ 3. El término constante $1$ permanece igual. Por tanto: $$\lim_{x \to +\infty} (0 + 0.15x + 1) = +\infty$$ **Interpretación:** La infección no remite con el paso del tiempo; al contrario, a largo plazo la cantidad de toneladas de agua infectada **crece indefinidamente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La cantidad tiende a } +\infty \text{ (crecimiento ilimitado).}}$$

**(b) [4 puntos] ¿En qué momento hay menos cantidad de agua infectada? ¿Cuántas toneladas hay en aquel momento?** Para encontrar el mínimo, calculamos la derivada de $f(x) = e^{-x} + 0.15x + 1$ e igualamos a cero: $$f'(x) = -e^{-x} + 0.15$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$-e^{-x} + 0.15 = 0 \implies e^{-x} = 0.15$$ Aplicamos logaritmos naturales en ambos lados: $$\ln(e^{-x}) = \ln(0.15) \implies -x = \ln(0.15)$$ $$x = -\ln(0.15) \approx 1.897$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(e^k) = k$. Para despejar una $x$ que está en un exponente, la herramienta fundamental es el logaritmo. $$\boxed{x \approx 1.90 \text{ días}}$$

Analizamos el signo de la derivada $f'(x)$ alrededor del punto crítico $x \approx 1.90$ para confirmar que es un mínimo. El dominio es $x \geq 0$. $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 1.90) & 1.90 & (1.90, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array} $$ - Si $x=1 \in (0, 1.90)$: $f'(1) = -e^{-1} + 0.15 \approx -0.36 + 0.15 < 0$. - Si $x=3 \in (1.90, +\infty)$: $f'(3) = -e^{-3} + 0.15 \approx -0.05 + 0.15 > 0$. Al pasar de decreciente a creciente, en **$x \approx 1.90$ días** se alcanza el mínimo. Calculamos la cantidad de agua infectada en ese momento: $$f(1.90) = e^{-1.90} + 0.15(1.90) + 1 \approx 0.15 + 0.285 + 1 = 1.435$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El mínimo ocurre a los 1.90 días con } 1.435 \text{ toneladas.}}$$

**(c) [2 puntos] ¿Hay algún momento en que el agua no esté infectada? Justifica la respuesta.** El agua no estaría infectada si la cantidad de toneladas fuera cero, es decir, si existiera algún $x \geq 0$ tal que $f(x) = 0$. Analizamos los términos de la función $f(x) = e^{-x} + 0.15x + 1$ para $x \geq 0$: 1. $e^{-x} > 0$ para cualquier valor de $x$ (la función exponencial siempre es positiva). 2. $0.15x \geq 0$ ya que el tiempo $x$ no puede ser negativo. 3. El término constante $1$ es estrictamente positivo. Por tanto, la suma de tres términos donde al menos uno es mayor o igual a 1 y los otros son positivos o nulos, siempre será mayor o igual a 1: $$f(x) > 1 \quad \forall x \geq 0$$ De hecho, ya hemos visto en el apartado anterior que el valor mínimo absoluto de la función es aproximadamente $1.435$ toneladas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, el agua siempre está infectada porque } f(x) \text{ nunca es cero (siempre } \gt 1).}$$