Posición relativa de recta y plano con parámetros

Para estudiar la posición relativa, primero extraemos el vector normal del plano $\pi$ y el vector director de la recta $r$. El plano es $\pi: x + ay - 2z = 3$, por lo que su vector normal es: $$\vec{n}_{\pi} = (1, a, -2)$$ La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0-b)\mathbf{i} - (0-0)\mathbf{j} + (1-0)\mathbf{k} = (-b, 0, 1)$$ También podemos obtener un punto genérico de la recta despejando $x$ en función de $z$ (haciendo $z = \lambda$): $$r: \begin{cases} x = 1 - b\lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases} \implies P_r(1, 0, 0), \quad \vec{v}_r = (-b, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos $A_1x+B_1y+C_1z=D_1$ y $A_2x+B_2y+C_2z=D_2$ es siempre paralelo al producto vectorial de sus normales $(A_1, B_1, C_1) \times (A_2, B_2, C_2)$.

**(a) [4 puntos] ¿Para qué valores de $a$ y $b$ la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$? Para estos casos concretos, calcula el punto de corte entre $r$ y $\pi$, y calcula o justifica cuál es la distancia de la recta al plano.** Una recta es perpendicular a un plano si su vector director $\vec{v}_r$ es paralelo al vector normal del plano $\vec{n}_{\pi}$. Esto ocurre si sus componentes son proporcionales: $$\frac{-b}{1} = \frac{0}{a} = \frac{1}{-2}$$ De la segunda y tercera igualdad: $$\frac{0}{a} = -\frac{1}{2} \implies 0 = -a \implies a = 0$$ De la primera y tercera igualdad: $$-b = -\frac{1}{2} \implies b = \frac{1}{2}$$ Sin embargo, el enunciado indica que $a$ y $b$ son **constantes reales no nulas** ($a, b \neq 0$). Dado que la condición matemática impone $a = 0$, concluimos que no existen valores de $a$ y $b$ que cumplan las restricciones iniciales y hagan la recta perpendicular al plano. Si ignoramos la restricción "no nulas" para realizar los cálculos que pide el apartado: ✅ **Valores teóricos:** $\boxed{a = 0, b = 1/2}$

Para $a=0$ y $b=1/2$, la recta es $r: (x, y, z) = (1 - \frac{1}{2}\lambda, 0, \lambda)$ y el plano es $\pi: x - 2z = 3$. Sustituimos la recta en el plano para hallar el punto de corte $Q$: $$(1 - \frac{1}{2}\lambda) - 2\lambda = 3 \implies 1 - \frac{5}{2}\lambda = 3 \implies -\frac{5}{2}\lambda = 2 \implies \lambda = -\frac{4}{5}$$ Sustituimos $\lambda$ en las ecuaciones de $r$: $x = 1 - \frac{1}{2}(-rac{4}{5}) = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ $y = 0$ $z = -\frac{4}{5}$ El punto de corte es $\boxed{Q(7/5, 0, -4/5)}$. **Justificación de la distancia:** Como la recta y el plano se cortan en un punto, la distancia de la recta al plano es la mínima distancia entre sus puntos comunes. Al haber intersección, esta distancia es nula. ✅ **Distancia:** $\boxed{d(r, \pi) = 0}$

**(b) [3 puntos] ¿Para qué valores de $a$ y $b$ la recta $r$ es paralela al plano $\pi$?** Una recta es paralela a un plano (o está contenida en él) si su vector director es perpendicular al vector normal del plano. Esto se cumple si su producto escalar es cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi} = 0 \implies (-b, 0, 1) \cdot (1, a, -2) = 0$$ $$-b + 0 \cdot a + 1 \cdot (-2) = 0 \implies -b - 2 = 0 \implies b = -2$$ Para que sea estrictamente paralela, un punto de la recta **no** debe pertenecer al plano. Probamos con $P_r(1, 0, 0)$ en $\pi$: $$1 + a(0) - 2(0) = 3 \implies 1 = 3 \quad (\text{Falso})$$ Como $1 \neq 3$, el punto $P_r$ nunca pertenece al plano, independientemente del valor de $a$. Por tanto, la recta siempre es paralela si $b=-2$. ✅ **Resultado:** $\boxed{b = -2, \text{ para cualquier } a \neq 0}$

**(c) [3 puntos] ¿Existen algunos valores de $a$ y $b$ para los cuales la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$?** Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$, deben cumplirse dos condiciones: 1. $\vec{v}_r \perp \vec{n}_{\pi}$ (dirección adecuada). 2. Un punto de la recta, por ejemplo $P_r(1, 0, 0)$, debe pertenecer al plano. Como hemos comprobado en el apartado anterior, al sustituir el punto $P_r(1, 0, 0)$ en la ecuación del plano $x + ay - 2z = 3$ obtenemos: $$1 + a(0) - 2(0) = 3 \implies 1 = 3$$ Esta igualdad es imposible. Esto significa que el punto $P_r$ no pertenece al plano para ningún valor de $a$ o $b$. Si un punto de la recta no está en el plano, es imposible que toda la recta lo esté. ✅ **Resultado:** $\boxed{\text{No existen valores de } a \text{ y } b \text{ tales que } r \subset \pi}$