Intersección de plano con ejes, área y recta perpendicular

**(a) [3 puntos] Determina los vértices del triángulo que viene determinado por la intersección del plano con los ejes de coordenadas.** Para hallar los puntos de intersección del plano $\pi : 2x + 3y + z - 6 = 0$ con los ejes de coordenadas, debemos anular las coordenadas correspondientes en cada caso: - **Eje $OX$ (eje de abscisas):** Imponemos $y=0$ y $z=0$ en la ecuación del plano: $$2x + 3(0) + (0) - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$ El vértice es **$A(3, 0, 0)$**. - **Eje $OY$ (eje de ordenadas):** Imponemos $x=0$ y $z=0$: $$2(0) + 3y + (0) - 6 = 0 \implies 3y = 6 \implies y = 2$$ El vértice es **$B(0, 2, 0)$**. - **Eje $OZ$ (eje de cotas):** Imponemos $x=0$ y $y=0$: $$2(0) + 3(0) + z - 6 = 0 \implies z = 6$$ El vértice es **$C(0, 0, 6)$**. 💡 **Tip:** Las intersecciones con los ejes son los puntos donde el plano corta a las rectas principales del sistema de referencia; simplemente iguala a cero las variables que no representan al eje que buscas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(3, 0, 0), \, B(0, 2, 0), \, C(0, 0, 6)}$$

**(b) [3 puntos] Calcula el área del triángulo anterior.** El área de un triángulo cuyos vértices son $A, B$ y $C$ se puede calcular mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores arista: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos primero los vectores directores de los lados desde el origen común $A$: $$\vec{AB} = B - A = (0-3, 2-0, 0-0) = (-3, 2, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-3, 0-0, 6-0) = (-3, 0, 6)$$ Realizamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 6 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (2 \cdot 6)\mathbf{i} + (0 \cdot (-3))\mathbf{j} + ((-3) \cdot 0)\mathbf{k} - [(-3) \cdot 2 \cdot \mathbf{k} + 0 \cdot 0 \cdot \mathbf{i} + 6 \cdot (-3) \cdot \mathbf{j}]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 12\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 0\mathbf{k} - [-6\mathbf{k} + 0\mathbf{i} - 18\mathbf{j}]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 12\mathbf{i} + 18\mathbf{j} + 6\mathbf{k} = (12, 18, 6)$$ 💡 **Tip:** Para agilizar el cálculo, puedes sacar factor común antes de calcular el módulo: $(12, 18, 6) = 6 \cdot (2, 3, 1)$.

Ahora calculamos el módulo del vector producto vectorial obtenido: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{12^2 + 18^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 324 + 36} = \sqrt{504}$$ Simplificamos el radical factorizando $504 = 36 \cdot 14$: $$\sqrt{504} = \sqrt{36 \cdot 14} = 6\sqrt{14}$$ Sustituimos en la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{14} = 3\sqrt{14} \text{ u}^2$$ Si quisiéramos el valor aproximado: $$\text{Área} \approx 11.22 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 3\sqrt{14} \text{ u}^2}$$

**(c) [4 puntos] Sea $A$ el vértice del triángulo sobre el eje de abscisas (eje $OX$). Calcula la recta perpendicular al plano que pasa por $A$.** Para hallar la ecuación de una recta $r$ necesitamos un punto de paso y un vector director $\vec{v}_r$. 1. **Punto:** El enunciado especifica que la recta pasa por el punto $A$, que según el apartado (a) es **$A(3, 0, 0)$**. 2. **Dirección:** Dado que la recta es perpendicular al plano $\pi : 2x + 3y + z - 6 = 0$, su dirección debe ser la misma que la del vector normal del plano. Extraemos el vector normal de los coeficientes de la ecuación general del plano: $$\vec{n}_\pi = (2, 3, 1)$$ Por tanto, tomamos como vector director de la recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi = (2, 3, 1)$$ Planteamos la ecuación continua de la recta: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo el punto $(3,0,0)$ y el vector $(2,3,1)$: $$\frac{x-3}{2} = \frac{y-0}{3} = \frac{z-0}{1} \implies \frac{x-3}{2} = \frac{y}{3} = z$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición de perpendicularidad entre una recta y un plano implica que sus vectores característicos (director y normal) son paralelos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \frac{x-3}{2} = \frac{y}{3} = z}$$