Ecuaciones matriciales e invertibilidad

**(a) [4 puntos] Calcula todas las matrices $X$ tales que $AX - X = B$.** Primero, observamos que en la ecuación $AX - X = B$ podemos sacar factor común la matriz $X$ por la derecha. Recuerda que $X = I \cdot X$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2: $$AX - I X = B \implies (A - I)X = B$$ Definimos la matriz $M = A - I$ y calculamos su valor: $$M = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-1 & -1-0 \\ 0-0 & 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al sacar factor común en matrices, es fundamental respetar el lado por el que se multiplica (propiedad distributiva). Aquí $X$ está a la derecha en ambos términos.

Para despejar $X$ en la ecuación $MX = B$, debemos comprobar si $M$ tiene inversa. Calculamos su determinante: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (-1 \cdot 0) = 4 - 0 = 4$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz $M$ es invertible ($M$ es regular). Por tanto, podemos despejar $X$ multiplicando por $M^{-1}$ por la izquierda: $$M^{-1}MX = M^{-1}B \implies X = M^{-1}B$$ Calculamos la matriz inversa $M^{-1}$ mediante la fórmula $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: - $M_{11} = 2$ - $M_{12} = 0$ - $M_{21} = -(-1) = 1$ - $M_{22} = 2$ $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. Traspuesta de la adjunta: $$\text{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa: $$M^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/4 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Ahora multiplicamos $M^{-1}$ por $B$ para hallar $X$: $$X = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/4 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $\left(\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{4} \cdot 1\right) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $\quad \left(\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 1\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ - Fila 2: $(0 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 1) = \frac{1}{2}$; $\quad (0 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1) = \frac{1}{2}$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 5/4 & 3/4 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}}$$

**(b) [3 puntos] Encuentra una matriz $Y$ diferente de $O$ tal que $(A - B)Y = O$.** Calculamos primero la matriz $A - B$: $$A - B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2 & -1-1 \\ 0-1 & 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Sea $Y = \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 \end{pmatrix}$. La ecuación es: $$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Al multiplicar, obtenemos el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} y_1 - 2y_3 = 0 \implies y_1 = 2y_3 \\ y_2 - 2y_4 = 0 \implies y_2 = 2y_4 \\ -y_1 + 2y_3 = 0 \\ -y_2 + 2y_4 = 0 \end{cases}$$ Las dos últimas ecuaciones son proporcionales a las primeras. Para que $Y \neq O$, basta con elegir valores que cumplan las relaciones. Por ejemplo, si tomamos $y_3 = 1$ y $y_4 = 0$: $$y_1 = 2(1) = 2, \quad y_2 = 2(0) = 0$$ ✅ **Resultado (apartado b - una posible solución):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**(c) [3 puntos] Indica todas las matrices $Z$ que cumplen la igualdad $AZ = O$.** Analizamos si la matriz $A$ es invertible calculando su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = (3 \cdot 3) - (-1 \cdot 0) = 9$$ Como $|A| = 9 \neq 0$, la matriz $A$ tiene inversa ($A^{-1}$ existe). Si multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en la igualdad $AZ = O$: $$A^{-1} (AZ) = A^{-1} O$$ $$IZ = O \implies Z = O$$ Por tanto, la única matriz que satisface la igualdad es la propia matriz nula. 💡 **Tip:** Si en una ecuación matricial $AX = O$, la matriz $A$ es regular ($|A| \neq 0$), entonces la única solución es la trivial $X = O$. Si fuera singular ($|A| = 0$), habría infinitas soluciones. ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{Z = O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}$$