Invertibilidad, matriz inversa y sistemas de ecuaciones matriciales

**(a) [3 puntos] Indica para qué valores de $a$ la matriz $M$ es invertible.** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $M$ utilizando la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & a \\ a + 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|M| = (2 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (a \cdot (a+1) \cdot 1) - [ (1 \cdot 0 \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot (a+1) \cdot 1) ]$$ $$|M| = 0 + 1 + a^2 + a - [ 0 + 2 + a + 1 ]$$ $$|M| = a^2 + a + 1 - (a + 3) = a^2 - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para matrices $3 \times 3$, el determinante por Sarrus se calcula sumando los productos de las diagonales principales y restando los de las secundarias. $$\boxed{|M| = a^2 - 2}$$

Para hallar los valores que hacen que la matriz no sea invertible, igualamos el determinante a cero: $$a^2 - 2 = 0 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2}$$ Por tanto, la matriz $M$ es invertible para cualquier valor de $a$ distinto de $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{M es invertible } \forall a \in \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\}}$$

**(b) [3 puntos] Calcula, para todos los valores de $a$ que sea posible, la inversa de $M$.** La matriz inversa se calcula mediante la fórmula: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \cdot (\text{Adj}(M))^T$$ Primero, calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$ obteniendo los cofactores de cada elemento: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} a+1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(a+1 - 1) = -a$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} a+1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = a+1 - 0 = a+1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - a) = a-1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - a$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 1) = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & a \\ a+1 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - a(a+1)) = a^2+a-2$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ a+1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (a+1) = -a-1$ 💡 **Tip:** No olvides alternar los signos de los adjuntos siguiendo el patrón $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$.

Escribimos la matriz de adjuntos y calculamos su traspuesta: $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} -1 & -a & a+1 \\ a-1 & 2-a & -1 \\ 1 & a^2+a-2 & -a-1 \end{pmatrix}$$ $$\text{Adj}(M)^T = \begin{pmatrix} -1 & a-1 & 1 \\ -a & 2-a & a^2+a-2 \\ a+1 & -1 & -a-1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|M| = a^2 - 2$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{M^{-1} = \frac{1}{a^2-2} \begin{pmatrix} -1 & a-1 & 1 \\ -a & 2-a & a^2+a-2 \\ a+1 & -1 & -a-1 \end{pmatrix}}$$ Esta expresión es válida siempre que $a \neq \pm \sqrt{2}$.

**(c) [4 puntos] Calcula, para el caso $a = 0$, el vector $\mathbf{x}$ tal que $M\mathbf{x} = \mathbf{b}$.** Si $a=0$, el determinante es $|M| = 0^2 - 2 = -2$. Como es distinto de cero, podemos despejar $\mathbf{x}$ multiplicando por la izquierda por $M^{-1}$: $$M\mathbf{x} = \mathbf{b} \implies \mathbf{x} = M^{-1}\mathbf{b}$$ Sustituimos $a=0$ en la fórmula de la inversa obtenida en el apartado anterior: $$M^{-1}_{a=0} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & 0-1 & 1 \\ -0 & 2-0 & 0+0-2 \\ 0+1 & -1 & -0-1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por el vector $\mathbf{b}$: $$\mathbf{x} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Operamos el producto matriz-vector: $$\begin{pmatrix} (-1)\cdot 0 + (-1)\cdot 1 + 1\cdot 1 \\ 0\cdot 0 + 2\cdot 1 + (-2)\cdot 1 \\ 1\cdot 0 + (-1)\cdot 1 + (-1)\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 1 \\ 2 - 2 \\ -1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por el escalar $\frac{1}{-2}$: $$\mathbf{x} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}$$