Distribución Normal: Cálculo de Probabilidades y Parámetros

**(a) [5 puntos] En un examen de tecnología, ¿cuál es la probabilidad de sacar una nota entre 5 y 7 si se sabe que las notas siguen una distribución normal de media 6 y desviación típica 2?** Definimos la variable aleatoria $X$ como la nota obtenida en el examen de tecnología. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(6, 2)$$ Queremos calcular la probabilidad $P(5 \le X \le 7)$. Para ello, debemos transformar la variable $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**. 💡 **Tip:** La fórmula para tipificar es $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$. Tipificamos los valores de los extremos del intervalo: - Para $x_1 = 5 \implies z_1 = \dfrac{5 - 6}{2} = -0.5$ - Para $x_2 = 7 \implies z_2 = \dfrac{7 - 6}{2} = 0.5$ Por tanto: $$P(5 \le X \le 7) = P(-0.5 \le Z \le 0.5)$$

Descomponemos la probabilidad del intervalo utilizando la función de distribución y la simetría de la campana de Gauss: $$P(-0.5 \le Z \le 0.5) = P(Z \le 0.5) - P(Z \le -0.5)$$ Como la tabla de la normal estándar solo ofrece valores para $z \ge 0$, aplicamos la propiedad de simetría $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$: $$P(Z \le -0.5) = 1 - P(Z \le 0.5)$$ Sustituyendo en la expresión anterior: $$P(-0.5 \le Z \le 0.5) = P(Z \le 0.5) - (1 - P(Z \le 0.5)) = 2 \cdot P(Z \le 0.5) - 1$$ Consultamos el valor en la tabla de la normal $N(0, 1)$ para $z = 0.5$: $$P(Z \le 0.5) = 0.6915$$ Realizamos el cálculo final: $$P = 2 \cdot 0.6915 - 1 = 1.383 - 1 = 0.383$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(5 \le X \le 7) = 0.383}$$

**(b) [5 puntos] En un examen de filosofía, el 35% de los alumnos presentados obtuvieron una nota mayor que 6, mientras que el 51% obtuvieron una nota menor que 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, determina cuál es su media $\mu$ y su desviación típica $\sigma$.** Sea $Y \sim N(\mu, \sigma)$ la nota de filosofía. Traducimos los porcentajes a probabilidades: 1. $P(Y \gt 6) = 0.35 \implies P(Y \le 6) = 1 - 0.35 = 0.65$ 2. $P(Y \lt 4) = 0.51$ Tipificamos ambas expresiones para obtener un sistema de ecuaciones con $\mu$ y $\sigma$: 1. $P\left( Z \le \dfrac{6 - \mu}{\sigma} \right) = 0.65$ 2. $P\left( Z \lt \dfrac{4 - \mu}{\sigma} \right) = 0.51$

Buscamos en la tabla de la distribución $N(0, 1)$ los valores de $z$ correspondientes a las probabilidades acumuladas $0.65$ y $0.51$: - Para $P(Z \le z_1) = 0.65$: El valor más cercano en la tabla está entre $0.38$ ($0.6480$) y $0.39$ ($0.6517$). Usando una aproximación lineal o el valor más cercano: $$z_1 = \dfrac{6 - \mu}{\sigma} \approx 0.385$$ - Para $P(Z \le z_2) = 0.51$: El valor más cercano en la tabla está entre $0.02$ ($0.5080$) y $0.03$ ($0.5120$). Usando el valor medio: $$z_2 = \dfrac{4 - \mu}{\sigma} \approx 0.025$$ 💡 **Tip:** Cuando el valor exacto de la probabilidad no está en la tabla, solemos tomar el valor de $z$ más cercano o realizar la media entre los dos colindantes.

Tenemos el siguiente sistema lineal: $$\begin{cases} 6 - \mu = 0.385\sigma \\ 4 - \mu = 0.025\sigma \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación de la primera para eliminar $\mu$: $$(6 - \mu) - (4 - \mu) = 0.385\sigma - 0.025\sigma$$ $$2 = 0.36\sigma \implies \sigma = \dfrac{2}{0.36} \approx 5.56$$ Ahora, despejamos $\mu$ de la segunda ecuación: $$\mu = 4 - 0.025 \cdot (5.555...) = 4 - 0.1388... \approx 3.86$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu \approx 3.86, \quad \sigma \approx 5.56}$$