Probabilidad de deportes en una clase

**(a) [3 puntos] Sea $F$=‘juega a fútbol’ y sea $B$=‘juega a baloncesto’, escribe, en términos de uniones, intersecciones y complementarios de estos dos sucesos, las tres probabilidades que indica el enunciado.** Identificamos los datos proporcionados en el enunciado y los traducimos a notación matemática: 1. "El 60% de los alumnos juega a fútbol o baloncesto": La palabra "o" en probabilidad indica unión. $$P(F \cup B) = 0,60$$ 2. "El 10% practica los dos": Que practique ambos indica la intersección de los sucesos. $$P(F \cap B) = 0,10$$ 3. "Hay un 60% de alumnos que no juega a fútbol": El suceso "no jugar a fútbol" es el complementario de $F$. $$P(F^c) = 0,60$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en probabilidad el conectivo lógico "o" se traduce como unión ($\\cup$) y el conectivo "y" se traduce como intersección ($\\cap$).

**(b.1) [1 punto] Juegue a fútbol.** Para calcular la probabilidad de $F$, utilizamos la propiedad del suceso contrario. Sabemos que la suma de la probabilidad de un suceso y su complementario es 1: $$P(F) + P(F^c) = 1$$ Despejamos $P(F)$: $$P(F) = 1 - P(F^c) = 1 - 0,60 = 0,40$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F) = 0,40}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de un suceso $A$ siempre es $1 - P(A^c)$.

**(b.2) [2 puntos] Juegue a baloncesto.** Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(F \cup B) = P(F) + P(B) - P(F \cap B)$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$0,60 = 0,40 + P(B) - 0,10$$ Operamos en el lado derecho: $$0,60 = 0,30 + P(B)$$ Despejamos $P(B)$: $$P(B) = 0,60 - 0,30 = 0,30$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = 0,30}$$ 💡 **Tip:** Esta fórmula es fundamental en probabilidad. No olvides restar la intersección para no contar dos veces los elementos comunes.

Para visualizar mejor el resto de apartados, organizamos los datos en una tabla de contingencia (o de doble entrada). $$\begin{array}{c|cc|c} & F & F^c & \text{Total} \\\hline B & 0,10 & 0,20 & 0,30 \\ B^c & 0,30 & 0,40 & 0,70 \\\hline \text{Total} & 0,40 & 0,60 & 1,00 \end{array}$$ * $P(F \cap B) = 0,10$ (dato) * $P(F) = 0,40$ (calculado), por tanto $P(F \cap B^c) = 0,40 - 0,10 = 0,30$ * $P(B) = 0,30$ (calculado), por tanto $P(F^c \cap B) = 0,30 - 0,10 = 0,20$ * $P(F^c) = 0,60$ (dato), por tanto $P(F^c \cap B^c) = 0,60 - 0,20 = 0,40$ 💡 **Tip:** Las tablas de contingencia son muy útiles para verificar que todas las partes sumen el total (1,00).

**(b.3) [2 puntos] Juegue a baloncesto y no a fútbol (es decir, sólo juegue a baloncesto).** El suceso "jugar a baloncesto y no a fútbol" se expresa como $B \cap F^c$ o también como $B \setminus F$. Su probabilidad es la probabilidad de jugar baloncesto menos la probabilidad de jugar ambos deportes: $$P(B \cap F^c) = P(B) - P(F \cap B)$$ Sustituimos los valores: $$P(B \cap F^c) = 0,30 - 0,10 = 0,20$$ Este valor coincide con el que hemos obtenido en la tabla de contingencia anterior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cap F^c) = 0,20}$$ 💡 **Tip:** La expresión $P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)$ permite hallar la probabilidad de que ocurra $A$ pero no $B$.

**(b.4) [2 puntos] No juegue ni a fútbol ni a baloncesto.** Este suceso es el complementario de jugar a uno de los dos (la unión). Se puede expresar de dos formas: 1. Como el complementario de la unión: $P((F \cup B)^c)$ 2. Por las leyes de De Morgan: $P(F^c \cap B^c)$ Utilizamos la propiedad del complementario: $$P(F^c \cap B^c) = 1 - P(F \cup B)$$ Sustituimos el valor de la unión dado en el enunciado: $$P(F^c \cap B^c) = 1 - 0,60 = 0,40$$ Este 40% representa a los alumnos que practican "otros" deportes diferentes al fútbol y al baloncesto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F^c \cap B^c) = 0,40}$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan nos dicen que no jugar a $F$ ni a $B$ ($F^c \cap B^c$) es exactamente lo mismo que no jugar a la unión de ambos ($(F \cup B)^c$).