Integral de una función racional

Para calcular la integral $\int \frac{x^4 + 2x - 6}{x^2 + x - 2} \, dx$, observamos que el grado del numerador ($4$) es mayor que el grado del denominador ($2$). Por tanto, debemos realizar la división polinómica. Dividimos $x^4 + 2x - 6$ entre $x^2 + x - 2$: 1. Dividimos $x^4$ entre $x^2$: obtenemos $x^2$. 2. Multiplicamos $x^2(x^2 + x - 2) = x^4 + x^3 - 2x^2$ y restamos: $(x^4 + 2x - 6) - (x^4 + x^3 - 2x^2) = -x^3 + 2x^2 + 2x - 6$. 3. Dividimos $-x^3$ entre $x^2$: obtenemos $-x$. 4. Multiplicamos $-x(x^2 + x - 2) = -x^3 - x^2 + 2x$ y restamos: $(-x^3 + 2x^2 + 2x - 6) - (-x^3 - x^2 + 2x) = 3x^2 - 6$. 5. Dividimos $3x^2$ entre $x^2$: obtenemos $3$. 6. Multiplicamos $3(x^2 + x - 2) = 3x^2 + 3x - 6$ y restamos: $(3x^2 - 6) - (3x^2 + 3x - 6) = -3x$. El cociente es $C(x) = x^2 - x + 3$ y el resto es $R(x) = -3x$. Podemos escribir la función como: $$f(x) = x^2 - x + 3 + \frac{-3x}{x^2 + x - 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar funciones racionales donde $\text{grado}(P) \ge \text{grado}(Q)$, siempre usamos la propiedad $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

Para integrar la parte racional $\frac{-3x}{x^2 + x - 2}$, primero debemos factorizar el denominador $x^2 + x - 2$. Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 + x - 2 = 0$: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son: $$x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2$$ Por tanto, la factorización es: $$\boxed{x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)}$$

Descomponemos la fracción racional en una suma de fracciones simples: $$\frac{-3x}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$$ Multiplicamos por el denominador común para hallar $A$ y $B$: $$-3x = A(x + 2) + B(x - 1)$$ - Si $x = 1$: $$-3(1) = A(1 + 2) \implies -3 = 3A \implies \mathbf{A = -1}$$ - Si $x = -2$: $$-3(-2) = B(-2 - 1) \implies 6 = -3B \implies \mathbf{B = -2}$$ La función descompuesta queda: $$f(x) = x^2 - x + 3 - \frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 2}$$ 💡 **Tip:** Este método se llama descomposición en fracciones simples y es fundamental para integrar funciones racionales con raíces reales en el denominador.

Ahora integramos término a término aplicando la linealidad de la integral: $$\int \left( x^2 - x + 3 - \frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 2} \right) dx = \int x^2 dx - \int x dx + \int 3 dx - \int \frac{1}{x - 1} dx - 2 \int \frac{1}{x + 2} dx$$ Calculamos cada parte: 1. $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$ 2. $\int x dx = \frac{x^2}{2}$ 3. $\int 3 dx = 3x$ 4. $\int \frac{1}{x - 1} dx = \ln|x - 1|$ 5. $\int \frac{1}{x + 2} dx = \ln|x + 2|$ Agrupamos todo y añadimos la constante de integración $C$: $$\int f(x) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 3x - \ln|x - 1| - 2\ln|x + 2| + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{x^4 + 2x - 6}{x^2 + x - 2} dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 3x - \ln|x - 1| - 2\ln|x + 2| + C}$$