Reproducción de insectos y optimización

**(a) [4 puntos] ¿Cuántos millones de insectos había en el instante inicial? ¿Hacia dónde tiende la cantidad de insectos a lo largo de los años? Interpreta los resultados.** El instante inicial corresponde al tiempo $x = 0$. Para hallar la población inicial, evaluamos la función $f(x)$ en dicho punto: $$f(0) = e^{-0}(2 \cdot 0 + 1) = e^0 \cdot (0 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que cualquier número (distinto de cero) elevado a la potencia 0 es igual a 1 ($a^0 = 1$). ✅ **Población inicial:** $$\boxed{1 \text{ millón de insectos}}$$

Para saber hacia dónde tiende la población a lo largo de los años, calculamos el límite cuando $x$ tiende a infinito ($x \to +\infty$): $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} e^{-x}(2x + 1) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{e^x}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x + 1)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x}$$ Como el denominador crece sin cota y el numerador es constante: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$$ **Interpretación:** La población inicial es de **1 millón de insectos** y, a largo plazo, la tendencia es a la **extinción** (la cantidad de insectos tiende a 0). ✅ **Límite:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$$

**(b) [4 puntos] ¿Cuál es el máximo número de insectos que llega a haber? ¿En qué instante de tiempo se alcanza este valor?** Para encontrar los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = e^{-x}(2x + 1)$ utilizando la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: Sea $u = e^{-x} \implies u' = -e^{-x}$ Sea $v = 2x + 1 \implies v' = 2$ $$f'(x) = -e^{-x}(2x + 1) + e^{-x}(2) = e^{-x}(-2x - 1 + 2) = e^{-x}(1 - 2x)$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$e^{-x}(1 - 2x) = 0$$ Como $e^{-x}$ nunca es cero para ningún valor de $x$, la única solución proviene de: $$1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, los candidatos a máximos y mínimos son los puntos donde la derivada es nula o no existe. $$\boxed{f'(x) = e^{-x}(1 - 2x)}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x = 0.5$ (dentro del dominio $x \geq 0$) para confirmar que se trata de un máximo: $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 0.5) & 0.5 & (0.5, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - Para $x < 0.5$, por ejemplo $x=0$: $f'(0) = e^0(1-0) = 1 > 0$ (creciente). - Para $x > 0.5$, por ejemplo $x=1$: $f'(1) = e^{-1}(1-2) = -1/e < 0$ (decreciente). Por tanto, en **$x = 0.5$ meses** se alcanza el máximo número de insectos. Calculamos el valor de la función en ese punto: $$f(0.5) = e^{-0.5}(2 \cdot 0.5 + 1) = e^{-0.5}(1 + 1) = 2e^{-0.5} = \frac{2}{\sqrt{e}}$$ Usando la aproximación $\sqrt{e} \approx 1.6487$: $$f(0.5) \approx \frac{2}{1.6487} \approx 1.213$$ ✅ **Resultado (máximo):** $$\boxed{\text{Máximo de } \approx 1.213 \text{ millones de insectos a los } 0.5 \text{ meses}}$$

**(c) [2 puntos] ¿Hay algún momento en que la población supera los 2 millones de insectos? Justifica la respuesta.** Para responder a esta pregunta, basta con observar el valor máximo obtenido en el apartado anterior. Hemos determinado que el valor máximo absoluto de la función en el intervalo $[0, +\infty)$ es: $$f(0.5) = \frac{2}{\sqrt{e}} \approx 1.213 \text{ millones}$$ Dado que $1.213 < 2$, la función nunca alcanza el valor de 2 millones. **Justificación:** Puesto que la función es continua, crece desde $f(0)=1$ hasta su máximo en $f(0.5) \approx 1.213$ y a partir de ahí decrece hacia 0, el valor de la población está siempre acotado superiormente por $1.213$ millones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, la población nunca supera los 2 millones de insectos}}$$