Puntos en el plano, división de segmentos y rectas perpendiculares

**(a) [2 puntos] ¿Son $P$ y $Q$ puntos del plano $\pi$? Justifica la respuesta.** Para que un punto pertenezca a un plano, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación del mismo. Sustituimos las coordenadas de $P$ y $Q$ en $\pi: 3x + y + z = 2$. Para el punto **$P(0, 1, 1)$**: $$3(0) + 1 + 1 = 0 + 2 = 2.$$ Como $2 = 2$, se cumple la igualdad. Por tanto, **$P$ pertenece al plano $\pi$**. Para el punto **$Q(2, -1, -3)$**: $$3(2) + (-1) + (-3) = 6 - 1 - 3 = 6 - 4 = 2.$$ Como $2 = 2$, se cumple la igualdad. Por tanto, **$Q$ también pertenece al plano $\pi$**. 💡 **Tip:** Un punto $A(x_0, y_0, z_0)$ está en el plano $Ax+By+Cz+D=0$ si al sustituir sus coordenadas se cumple la igualdad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P \in \pi \text{ y } Q \in \pi}$$

**(b) [4 puntos] Calcula el punto $S$ situado sobre la recta $PQ$ que se encuentra a $3/4$ partes de $P$ y a $1/4$ parte de $Q$.** El enunciado nos indica que $S$ divide al segmento $PQ$ de forma que la distancia desde $P$ es tres veces mayor que la distancia desde $Q$. Vectorialmente, esto significa que el vector $\vec{PS}$ es $\frac{3}{4}$ del vector $\vec{PQ}$. Primero, calculamos el vector director $\vec{PQ}$: $$\vec{PQ} = Q - P = (2 - 0, -1 - 1, -3 - 1) = (2, -2, -4).$$ Ahora, calculamos las coordenadas de $S$ usando la relación vectorial: $$S = P + \frac{3}{4}\vec{PQ}$$ $$S = (0, 1, 1) + \frac{3}{4}(2, -2, -4)$$ $$S = (0, 1, 1) + \left(\frac{6}{4}, -\frac{6}{4}, -\frac{12}{4}\right)$$ $$S = (0, 1, 1) + \left(\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}, -3\right)$$ Realizamos la suma componente a componente: - $x_S = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ - $y_S = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ - $z_S = 1 - 3 = -2$ 💡 **Tip:** Si un punto $S$ divide a un segmento $PQ$ en una razón $k$ tal que $\vec{PS} = k\vec{PQ}$, la fórmula es $S = P + k(Q-P)$. En este caso $k = 3/(3+1) = 3/4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{S\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, -2\right)}$$

**(c) [4 puntos] Determina la ecuación implícita (también llamada cartesiana) de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$.** Si una recta $r$ es perpendicular a un plano $\pi$, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Dada la ecuación del plano $\pi: 3x + y + z = 2$, su vector normal es: $$\vec{n_\pi} = (3, 1, 1).$$ Por tanto, tomamos como vector director de nuestra recta $\vec{v_r} = (3, 1, 1)$. La recta pasa por el punto $P(0, 1, 1)$. Escribimos primero la **ecuación continua**: $$\frac{x - 0}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{1}$$ Para obtener la **ecuación implícita**, igualamos las fracciones de dos en dos para obtener dos planos: 1) $\frac{x}{3} = \frac{y-1}{1} \implies x = 3(y-1) \implies x - 3y + 3 = 0$ 2) $\frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{1} \implies y-1 = z-1 \implies y - z = 0$ 💡 **Tip:** La ecuación implícita de una recta en el espacio se expresa como la intersección de dos planos no paralelos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x - 3y + 3 = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}}$$