Recta perpendicular a un plano y coplanaridad

**(a) [4 puntos] Determina la recta $r$ que pasa por $D$ y es perpendicular al plano que contiene los puntos $A, B$ y $C$.** Para obtener la recta $r$, necesitamos un punto (que es $D$) y un vector director. Como la recta es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a $A, B$ y $C$, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ será el vector normal al plano $\vec{n_\pi}$. Primero, calculamos dos vectores directores del plano a partir de los puntos dados: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 0 - 2, 1 - 0) = (-2, -2, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - 2, 1 - 0) = (-1, -2, 1)$$ El vector normal $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -2 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n_\pi} = \mathbf{i}(-2 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(-2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-2 \cdot (-2) - (-2) \cdot (-1))$$ $$\vec{n_\pi} = \mathbf{i}(-2 + 2) - \mathbf{j}(-2 + 1) + \mathbf{k}(4 - 2) = 0\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$$ $$\vec{n_\pi} = (0, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores en el plano proporciona un vector perpendicular a ambos, que es el vector normal del plano.

Ahora que tenemos el punto $D(3, 1, 2)$ y el vector director $\vec{v_r} = \vec{n_\pi} = (0, 1, 2)$, escribimos la ecuación de la recta $r$. La ecuación paramétrica de la recta $r$ es: $$\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + 2\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + 2\lambda \end{cases}}$$

**(b) [4 puntos] Determina si los puntos $A, B, C$ y $D$ son coplanarios o no.** Cuatro puntos son coplanarios si el volumen del paralelepípedo que forman es cero, lo que equivale a que el producto mixto de los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ sea igual a cero. Ya tenemos: $$\vec{AB} = (-2, -2, 1)$$ $$\vec{AC} = (-1, -2, 1)$$ Calculamos $\vec{AD}$: $$\vec{AD} = D - A = (3 - 1, 1 - 2, 2 - 0) = (2, -1, 2)$$ Calculamos el determinante del producto mixto: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$= [(-2)(-2)(2) + (-2)(1)(2) + (1)(-1)(-1)] - [(1)(-2)(2) + (-2)(-1)(2) + (-2)(1)(-1)]$$ $$= [8 - 4 + 1] - [-4 + 4 + 2]$$ $$= 5 - 2 = 3$$ Como el determinante es **$3 \neq 0$**, los vectores son linealmente independientes. 💡 **Tip:** Si el producto mixto es distinto de cero, los vectores no están en el mismo plano y, por tanto, los puntos no son coplanarios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos } A, B, C \text{ y } D \text{ no son coplanarios}}$$

**(c) [2 puntos] ¿Es $D$ el punto de corte de la recta con el plano del apartado (a)? Justifica la respuesta.** Para que $D$ sea el punto de corte de la recta $r$ con el plano $\pi$, el punto $D$ debe pertenecer simultáneamente a la recta y al plano. Sabemos que $D$ pertenece a la recta $r$ por construcción (el enunciado dice que la recta pasa por $D$). Sin embargo, para que sea el punto de corte con el plano, $D$ tendría que estar contenido en el plano formado por $A, B$ y $C$. En el apartado (b) hemos demostrado que los puntos $A, B, C$ y $D$ **no son coplanarios**. Esto significa que $D$ no pertenece al plano $\pi$ que contiene a $A, B$ y $C$. Por lo tanto, $D$ no puede ser el punto de intersección entre la recta y el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, } D \text{ no es el punto de corte porque } D \notin \pi \text{ (no es coplanario con A, B y C)}}$$