Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**(a) [3 puntos] ¿Satisface la matriz $M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ las condiciones del enunciado? Es decir, ¿cumple $M$ la igualdad del enunciado y, además, es invertible?** Primero, comprobamos si la matriz $M$ es invertible calculando su determinante: $$\det(M) = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (0 \cdot (-1)) - ((-1) \cdot (-1)) = 0 - 1 = -1.$$ Como $\det(M) = -1 \neq 0$, la matriz **$M$ es invertible**. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

Ahora debemos comprobar si $M^2 + M = I$. Calculamos primero $M^2$: $$M^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1 & 0+1 \\ 0+1 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$$ Sumamos la matriz $M$ al resultado anterior: $$M^2 + M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 1-1 \\ 1-1 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Como el resultado es la matriz identidad $I$, se cumple la igualdad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, la matriz } M \text{ satisface todas las condiciones del enunciado.}}$$

**(b) [3 puntos] Calcula la inversa de $A$.** Partimos de la igualdad dada en el enunciado: $$A^2 + A = I.$$ Para hallar $A^{-1}$, intentamos factorizar la matriz $A$ en el miembro de la izquierda: $$A(A + I) = I.$$ Por la definición de matriz inversa, si para una matriz $A$ existe otra matriz $B$ tal que $A \cdot B = I$, entonces $B = A^{-1}$. En este caso, la matriz que multiplica a $A$ para dar la identidad es $(A+I)$. Comprobamos también el producto por la izquierda: $$(A + I)A = A^2 + IA = A^2 + A = I.$$ 💡 **Tip:** Si logras aislar la identidad $I$ en un lado de la ecuación y factorizar la matriz $A$ en el otro, el factor restante es directamente la inversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = A + I}$$

**(c) [4 puntos] Comprueba que se satisface la igualdad $A(B + A) - I = A(B - I)$, siendo $B$ una matriz cuadrada cualquiera $n \times n$ con coeficientes reales.** Vamos a desarrollar ambos miembros de la igualdad para ver si coinciden. Desarrollamos el miembro de la izquierda aplicando la propiedad distributiva: $$LHS = A(B + A) - I = AB + A^2 - I.$$ Utilizamos la condición del enunciado $A^2 + A = I$, de donde podemos despejar $A^2 - I$: $$A^2 - I = -A.$$ Sustituimos esto en nuestra expresión: $$LHS = AB + (A^2 - I) = AB - A.$$ Desarrollamos ahora el miembro de la derecha: $$RHS = A(B - I) = AB - AI = AB - A.$$ Como ambos miembros resultan en la misma expresión matricial, la igualdad queda demostrada: $$AB - A = AB - A.$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, recuerda que $AI = IA = A$ y que la propiedad distributiva $A(B+C) = AB + AC$ siempre se cumple, pero el orden de los factores es vital porque el producto no es conmutativo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(B + A) - I = A(B - I) \text{ es una igualdad cierta.}}$$