Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**(a) [7 puntos] Discute el número de soluciones que tiene el sistema según el parámetro $m$.** Para discutir el sistema, representamos el sistema de ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} m & 1 & -1 \\ 2 & m & 0 \\ 1 & 0 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m & 1 & -1 & 1 \\ 2 & m & 0 & 1 \\ 1 & 0 & m & 0 \end{array}\right)$$ El primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ para ver para qué valores de $m$ el rango de $A$ es máximo ($3$).

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 1 & -1 \\ 2 & m & 0 \\ 1 & 0 & m \end{vmatrix} = (m \cdot m \cdot m) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (-1 \cdot 2 \cdot 0) - [(-1 \cdot m \cdot 1) + (0 \cdot 0 \cdot m) + (1 \cdot 2 \cdot m)]$$ $$|A| = m^3 + 0 + 0 - [-m + 0 + 2m] = m^3 - (m) = m^3 - m$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$m^3 - m = 0 \implies m(m^2 - 1) = 0$$ Esto nos da tres soluciones: $$\boxed{m = 0, \quad m = 1, \quad m = -1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es siempre Compatible Determinado (solución única).

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** según los valores de $m$: **Caso 1: $m \neq 0, m \neq 1, m \neq -1$** En este caso $|A| \neq 0$, por lo que: $$\text{rango}(A) = 3 = \text{rango}(A^*) = n^{\circ} \text{ de incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, tiene una solución única. **Caso 2: Si $m = 0$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ - Como $|A|=0$, $\text{rango}(A) \lt 3$. El menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$, luego $\text{rango}(A) = 2$. - Estudiamos $\text{rango}(A^*)$ con el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0+1+0) - (0+0+0) = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

**Caso 3: Si $m = 1$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ - $|A|=0$, $\text{rango}(A) \lt 3$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$. - Estudiamos $\text{rango}(A^*)$. Observamos que la Fila 1 es la diferencia de la Fila 2 y la Fila 3 ($F_1 = F_2 - F_3$): $$(2, 1, 0, 1) - (1, 0, 1, 0) = (1, 1, -1, 1)$$ Esto significa que la columna de términos independientes no aporta rango extra. $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 4: Si $m = -1$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ - $|A|=0$, $\text{rango}(A) = 2$ (ya que $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1 \neq 0$). - Estudiamos $\text{rango}(A^*)$ con las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0+0+1) - (0-1+0) = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resumen:** $$\boxed{\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, -1\}: \text{SCD} \\ m = 0, -1: \text{SI} \\ m = 1: \text{SCI} \end{cases}}$$

**(b) [3 puntos] Resuelve el sistema para el caso $m = 1$.** Para $m=1$, hemos visto que el sistema es Compatible Indeterminado. El sistema es: $$\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + y = 1 \\ x + z = 0 \end{cases}$$ Como el rango es 2, una ecuación es redundante (la primera, como vimos antes). Usamos las dos últimas por ser más sencillas: 1) $2x + y = 1$ 2) $x + z = 0 \implies z = -x$ Parametrizamos la solución haciendo $x = \lambda$: - $x = \lambda$ - De (2): $z = -\lambda$ - De (1): $2\lambda + y = 1 \implies y = 1 - 2\lambda$ 💡 **Tip:** Al resolver un SCI, el número de parámetros necesarios es $n - \text{rango} = 3 - 2 = 1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = -\lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$